第五章 §5.2 平面向量基本定理及坐标表示.docx
§5.2平面向量基本定理及坐标表示
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一个基底的是()
A.e1=(2，-1)，e2=(1，-2)
B.e1=(4，-2)，e2=(-2，1)
C.e1=(3，3)，e2=(-1，1)
D.e1=(2，3)，e2=(-1，3)
2.在平行四边形ABCD中，AD=(3，7)，AB=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为()
A.-12，5
C.-12，-5
3.(2024·合肥模拟)已知向量a，b满足a+b=(1，m)，a-b=(3，1).若a∥b，则实数m等于()
A.-13 B.13 C.3 D
4.(2025·石家庄模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以{AE，BF}为基底表示向量AC，则下列结论正确的是(
A.AC=15AE+35BF B.AC
C.AC=AE-15BF D.AC=6
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2024·武威统考)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法正确的是()
A.λe1+μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ，μ有无数多对
C.若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若存在实数λ，μ，使λe1+μe2=0，则λ=μ=0
6.(2025·昆明模拟)已知向量OA=(1，-3)，OB=(2，-1)，OC=(m+1，m-2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()
A.-2 B.12 C.1 D.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·南京模拟)已知点A(1，3)，B(4，-1)，则与向量AB同方向的单位向量的坐标是.?
8.(2024·赤峰模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=30°，AB=1，AC=3，AD=2，AC=xAB+yAD(x，y∈R)，则x+y=.?
四、解答题(共27分)
9.(13分)平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).
(1)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(6分)
(2)若d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=5，求d的坐标.(7分)
10.(14分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，DM=13DC，BN=23BC，
(1)若MN=λAB+μAD，求实数λ和μ的值；(7分)
(2)求AEAC.(7分
11题6分，12题5分，共11分
11.(多选)已知|OM|=2，|ON|=2，且OM，ON的夹角为π3，点P在以O为圆心的劣弧MN上运动，若OP=xOM+yON，x，y≥0，则x+y的值可能为
A.2 B.32 C.52 D
12.已知{a，b}是平面内的一个基底，若m=xa+yb，则称有序实数对(x，y)为向量m在基底{a，b}下的坐标.给定一个平面向量p，已知p在基底{a，b}下的坐标为(1，2)，那么p在基底{a-b，a+b}下的坐标为.?
答案精析
1.B[对于A，C，D，因为两向量不共线，所以{e1，e2}能作为一个基底；
对于B，因为e1＝－2e2，
所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作为一个基底.]
2.C[因为在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，
所以CO＝－AO＝－12(AD＋
3.B[因为a＋b＝(1，m)，
a－b＝(3，1)，
所以a＝2，m＋12
若a∥b，则2×m-12＝－
所以m＝13.
4.D[令AC＝λAE＋μBF(λ，μ∈R)，
∵AE＝
BF＝AF－
AC＝
∴AB＋AD＝λ12AB
∴λ2-
∴AC＝6
5.AD[由题意可知，{e1，e2}可以看成平面α内的一个基底，根据平面向量基本定理可知，A项、D项正确，B项不正确；
对于C项，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，则λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2＝0，此时对任意实数λ均有λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)，故C项不正确.]
6.ABD[因为AB
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m
假设A，B，C三点共线，
则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.
所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形.]
7.3
解析∵点A(1，3)，B(4，－1)，
∴AB＝(3，－4)，
可得|AB|＝32＋(-4
因此，与向量