第五章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示.docx

§5.2平面向量基本定理及坐标表示

课标要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

1.平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝.?

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解.?

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.?

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则坐标即为向量的坐标.?

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝，|AB|＝.?

4.平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b?.?

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.()

(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b?x1＝x2且y1＝y2.()

2.设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于()

A.(6，3) B.(－2，－6)

C.(2，1) D.(7，2)

3.在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()

A.12 B.－1

C.1 D.－1

4.已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为.?

1.熟记以下常用结论

(1)基底{e1，e2}给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.

(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为x1

(3)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为x1

2.谨防三个易误点

(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以零向量不能作为基底中的向量.

(2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

题型一平面向量基本定理的应用

例1(1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列能作为平面向量的基底的是()

A.{a－b，b－a} B.2

C.{2b－3a，6a－4b} D.{a＋b，a－b}

(2)(2024·赣州模拟)在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别满足DC＝2DE＝4EF，BC＝2BG，若AF＝λAE＋μAG(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝.?

思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

跟踪训练1(1)(2024·北京模拟)在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，若AB＝λCM＋μBN(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于()

A.－2 B.－1

C.1 D.2

(2)已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且{a，b}是一个基底，则实数λ的取值范围是.?

题型二平面向量的坐标运算

例2(1)(多选)(2025·沈阳模拟)如图，已知A(2，1)，B(－3，4)，O为坐标原点，四边形OACB为平行四边形，下列结论正确的是()

A.点C坐标为(－1，5)

B.OC2＋

C.若AE＝13AB

D.△ABC重心的坐标为2

(2)(2025·山西联考)图1是古代中国的太极八卦模型图，图2(正八边形ABCDEFGH)是由图1抽象并以正八边形ABCDEFGH的中心O为旋转中心顺时针旋转π8而得到的，若OG＝xOH＋yOF，则x＋y等于(

A.2 B.3

C.2 D.3

思维升华(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、