初中数学专题对角互补模型(全等三角形模型)原卷版+解析版.docx
专题12对角互补模型(全等三角形模型)
专题目录
专题目录
TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、正方形半角模型 1
2、等腰直角三角形半角模型 2
3、等边三角形半角模型(60°-30°型) 2
4、等边三角形半角模型(120°-60°型) 2
5、半角模型(-型) 3
真题演练 3
巩固练习 5
模型解读
模型解读
对角互补模型特指四边形中,存在一对对角互补,而且有一组邻边相等的几何模型。解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种:①过顶点做双垂线,构造全等三角形;②进行旋转的构造,构造手拉手全等。常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、60°-120°对角互补模型、2α-(180°-2α)对角互补模型。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)
如图,已知∠AOB=∠DCE=90o,OC平分∠AOB.
结论:①CD=CE,②OD+OE=OC,③.
证明示例:
(证法一)如图(中),过点C作CM⊥OA于点M,CN⊥OB于点N.
∵OC平分∠AOB,∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),
在正方形MONC中,由题意可得∠MCN=360o-∠CMO-∠AOB-∠CNO=90o,∴∠MCD+∠DCN=90o,
又∵∠DCE=90o,∴∠ECN+∠MCD=90o,∴∠MCD=∠ECN,
∴△CDM≌△CEN,∴CD=CE,∴结论①成立;
∵四边形MONC为正方形,∴OM=ON=OC,
又∵OD+OE=OD+ON+NE=OD+ON+DM=OM+ON,∴OD+OE=OC,∴结论②成立;
∴,∴结论③成立.
(证法二)如图(后),过点C作CF⊥OC交OB于点F,
∵OC平分∠AOB,∴∠DOC=∠EOC=45°,∴△COF是等腰直角三角形,
∴CO=CF,∠CFO=∠COD=45°,
又∵∠DCO+∠OCE=∠ECF+∠OCE=90°,∴∠DCO=∠ECF,∴△COD≌△CFE,
∴OD=EF,CD=CE,∴结论①成立;
∵∴△COF是等腰直角三角形,∴OF=OC;
又∵OD+OE=EF+OE=OF,∴OD+OE=OC,∴结论②成立;
,∴结论③成立.
2、“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)
如图,已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D,∠AOB=∠DCE=90o,OC平分∠AOB.
结论:①CD=CE,②OE-OD=OC,③.
证明示例:
如图,过点C作CF⊥OA,CG⊥OB,垂足分别为F、G.
由角平分线性质可得CF=CG,∴四边形CFOG为正方形,
∵∠1+∠2=90o,∠3+∠2=90o,∴∠1=∠3,∴△CDF≌△CEG,
∴CD=CE,结论①成立;
在正方形CFOG中,OF=OG=OC,
∵OE-OD=OG+GE-OD=OG+FD-OD=OG+OF,∴OE-OD=OC=OC,结论②成立;
3、等边三角形对120°模型
如图,已知∠AOB=2∠DCE=120o,OC平分∠AOB.
结论:①CD=CE,②OD+OE=OC,③.
证明示例:
如图,过点C作CF⊥OA,CG⊥OB,垂足分别为F、G.
由角平分线性质可得CF=CG,在四边形OFCG中,∠FCG=60o,
∵∠FCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG=60o,∴∠FCD=∠GCE,∴△CDF≌△CEG(ASA),
∴CD=CE,结论①成立;
在Rt△COF和Rt△COG中,∠COF=∠COG=60o,∴OF=OG=OC,
又∵OD+OE=OD+OG+EG=OD+OG+DF=OF+OG,∴OD+OE=OC=OC,结论②成立;
,结论③成立.
4、2α对180°-2α模型
如图,已知∠AOB=,∠DCE=,OC平分∠AOB.
结论:①CD=CE,②OD+OE=2OC·cos,③.
5、蝴蝶型对角互补模型
如图,AP=BP,∠AOB=∠APB
结论:OP平分∠AOB的外角。
真题演练
真题演练
(2021·安徽安庆·中考真题)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变。其中正确的个数为()。
A.1B.2C.3D.4
巩固练习
巩固练习
已知,,是过点的直线,过点作于点,连接.
(1)问题发现:如图(1),过点作,与交于点,、、之间的数量关系是什么?并给予证明.
(2)拓展探究:当绕点旋转到如图(2)位置时,、、之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜