初中数学专题十字形模型（相似三角形模型）原卷版+解析版.docx
专题20十字形模型（相似三角形模型）
专题目录
专题目录
TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 2
1、矩形的十字架模型 2
2、三角形的十字架模型（全等+相似模型） 2
（1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似） 2
（2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似） 3
（3）直角三角形中的十字模型 3
真题演练 3
巩固练习 4
压轴真题强化 5
模型解读
模型解读
矩形的十字架模型则展示了相似的魅力。在矩形中，通过精细的构造，我们可以发现相似三角形的存在，并且可以通过已知条件推导出其他未知量。三角形的十字架模型更是将全等与相似的概念融为一体。在三角形中，我们可以利用十字形构造出全等或相似的三角形，从而解决各种几何问题。通过这些模型，我们不仅可以加深对全等与相似概念的理解，还能在实际问题中灵活运用，解决各种复杂的几何难题。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、矩形的十字架模型
（1）如图，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则.
（2）如图，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则.
（3）如图，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则.
2、三角形的十字架模型（全等+相似模型）
（1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。
（2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
（3）直角三角形中的十字模型
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
真题演练
真题演练
（2021·四川达州·中考真题）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【现察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE?AB＝CF?AD；
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．
巩固练习
巩固练习
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________．
【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．
【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________．
压轴真题强化
压轴真题强化
一、单选题
1．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（????）
A．5 B． C． D．4
2．（2023·山东东营·中考真题）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（????????）
??
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
3．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（????）
??
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
4．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则