初中数学专题半角模型（相似三角形模型）原卷版+解析版.docx
专题18半角模型（相似三角形模型）
专题目录
专题目录
TOC\o1-3\h\z\u模型解读 1
常见类型讲解 1
1、正方形中的半角相似模型 2
2、特殊三角形中的半角相似模型 3
（1）含45°半角模型 3
（2）含60°半角模型 3
真题演练 3
巩固练习 5
压轴真题强化 6
模型解读
模型解读
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等。通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件变更载体，而构建模型，可把握问题的本质。
常见类型讲解
常见类型讲解
1、正方形中的半角相似模型
如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°
结论：如图，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；
结论：如图，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；
结论：如图，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；
结论：如图，△BME∽△AMN∽△DFN.
2、特殊三角形中的半角相似模型
（1）含45°半角模型
如图，已知∠BAC＝90°，；
结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）
（2）含60°半角模型
如图，已知∠BAC＝120°，；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）
真题演练
真题演练
（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．
【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．
（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．
（1）当，时，
①求证：；
②连结，，若，求的值；
（2）当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，则当为何值时，是等腰三角形.
巩固练习
巩固练习
综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：．
压轴真题强化
压轴真题强化
一、单选题
1．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（）
A．2 B． C． D．
2．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（）
??
A． B． C． D．
二、解答题
3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰中，，点M是上的一点，，，将绕点A旋转后得到，连接，则___________．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，于点B，于点D，点P、Q分别是上的点，且，求的周长．（结果用a表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形，，求四边形的面积．
4．（2021·湖南娄底·中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图②，作，垂足为H，设，不妨设，请利用（2）的结论证明：当时，成立．
5．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
??
由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，
?