61 第六章 第5课时 数列求和(二).docx
第5课时数列求和(二)
[考试要求]掌握错位相减法求和、裂项相消法求和等几种常见的求和方法．
考点一错位相减法求和
错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
[典例1](2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列an+12n的前n
[解](1)由题意，2Sn＝nan，①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，②
由①－②得，2an＝nan－(n－1)an－1，
∴(n－1)an－1＝(n－2)an．
当n≥3时，an-1n
∴ann-1
∴ann-1＝a21＝1，∴an＝n－
当n＝1时，2a1＝a1，a1＝0满足上式，
∴an＝n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得an+12n＝
则Tn＝1×121＋2×122＋3×123＋…
12Tn＝1×122＋2×123＋…＋(n－1)·12
③－④，得12Tn＝121-12
∴Tn＝2－12
反思领悟1．本例(2)中，通项公式an+12n＝n·12n，其中an＝n为等差数列，bn＝12n为等比数列，且公比q＝12≠1，可利用错位相减法求和，其步骤如下：(1)将数列求和式的每一项同时乘以{bn}的公比
2．错位相减法求和时，应注意：(1)对q是否为1进行讨论；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn或qSn－Sn”的表达式．
巩固迁移1(2024·杭州二中月考)已知公比q＞1的等比数列{an}和等差数列{bn}，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b4，且a2是b2和b8的等比中项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn．
[解](1)设等差数列{bn}的公差为d，由题意得，a22＝b2
即(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，且a2＝b4＝a1q，
解得d=1，q=2或d=0，q=12(舍去)，所以a
(2)由(1)知，anbn＝n·2n，则
Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n+1，②
②－①得，
Tn＝－21－22－23－…－2n＋n×2n+1＝－21-2n1-2＋n×2n+1＝2＋(n－1)×2
考点二裂项相消法求和
1．裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
2．常见的裂项技巧：(1)1nn+1
(2)1nn+2
(3)12n-1
(4)1n+n
[典例2](1)(2025·乐山模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，记数列1anan+1的前n项和为Tn，则T
A．40474048 B．
C．40484049 D
(2)(2025·湛江模拟)定义“等方差数列”：如果一个数列从第2项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设{an}是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，a5＝3，则数列2an+an+1
A．322 B．
C．32 D．6
(1)D(2)D[(1)因为Sn＝n2，①
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2，②
所以①－②，得an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足an＝2n－1，所以an＝2n－1，
则1anan+1
所以T2024＝1
＝121-1
故选D．
(2)依题意，an+12-an2＝2，即{a
于是an2＝a52＋2(n－5)＝2n－1，即a
则2an
＝2
＝2n
所以数列2an+an+1的前24项和为(3－1)＋(5-3)＋(7-5)＋…＋(49-47
反思领悟1．本例(1)，利用an与Sn之间的关系，求出an＝2n－1，从而有1anan+1＝1212n
2．易错警示：在利用裂项相消法求和时应注意：
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，有时前面剩下两项，后面也剩下两项；(3)裂项过程中易忽视常数；(4)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．
巩固迁移2(1)(2025·广州模拟)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1．若bn＝1anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn，则T
A．3n12n+16
C．3n3n+1
(2)(2024·长沙联考)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝1fn+1+fn，n∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn，