第六章　§6.5　数列求和.docx

§6.5数列求和

课标要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.

数列求和的几种常用方法

(1)公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

①等差数列的前n项和公式：

Sn==.

②等比数列的前n项和公式：

Sn=n

(2)分组求和法与并项求和法

①分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.

②并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.

(3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

(4)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项技巧

①1n(n

②1n(n

③1(2n?1)(2

④1n+n

⑤1n(n

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果数列{an}为等比数列，且公比q不等于1，则其前n项和Sn=a1?an

(2)求数列{2n+2n}的前n项和可用分组求和法.()

(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.()

(4)当n≥2时，1n2?1=1n?1-

2.已知数列{an}满足a1=2，an+an+1=(-1)n，则数列{an}前2025项和为()

A.-1011 B.-1012

C.1013 D.1014

3.Sn=12+12+38+…

A.2n?n

C.2n?n

4.在数列{an}中，a1=2，an+1=an+1n(n+1)，则通项公式a

谨防三个易误点

(1)并项求和时注意哪些项进行并项.

(2)裂项时注意是否还有系数及是否前后相邻的项相消.

(3)错位相减后构造的等比数列的项数是否是n项.

题型一分组求和与并项求和

例1(1)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足an+2=an+2,n为偶数,2an,n为奇数,且

A.1023 B.1124

C.2146 D.2145

(2)已知数列{an}是等差数列，a1=tan225°，a5=13a1，设Sn为数列{(-1)nan}的前n项和，则S2026等于()

A.2026 B.-2026

C.3039 D.-3039

思维升华(1)分组求和法常见题型

①若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.

②若数列{cn}的通项公式为cn=a

其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.

(2)并项求和法常见题型

①数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n)，求数列{an}的前n项和.

②数列{an}是周期数列或ak+ak+1(k∈N*)为定值，求数列{an}的前n项和.

跟踪训练1(2024·毕节模拟)已知数列{an}满足an=2×(-2)n-1+n-2.求数列{an}的前n项和Sn.

题型二裂项相消法求和

例2(2024·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn=log2a2n-1，cn=1bnbn+1，求证：c1+c2+c3+…+

思维升华裂项相消法的原则及规律

(1)裂项原则

一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

(2)消项规律

消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.

跟踪训练2(2025·安顺模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，且?n∈N*，anSn+1-an+1Sn=an

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn=n2+n+1anan+1，{bn}的前

题型三错位相减法求和

例3(2025·贵阳模拟)已知数列{an}满足an+1=13an+13n+1，且a1=-23.设{an}的前n项和为Tn，bn=3

(1)证明：{bn}是等差数列；

(2)求Tn.

思维升华(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.

(2)用错位相减法求和时，应注意：

在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.

(3)[万能公式]形如cn=(an+b)·qn-1(q≠1)的数列的前n项和为Sn=(An+B)q