第六章 §6.5 数列求和.docx
§6.5数列求和
分值:50分
1.(12分)(2025·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-12an=n2+1,n∈N*
(1)求a1,a2,并证明:数列{an+an+1}是等差数列;(6分)
(2)求S20.(6分)
2.(12分)已知数列{an}满足a1=10,an+1=3an-2.
(1)求{an}的通项公式;(5分)
(2)若bn=an?1(an+2)an,记数列{bn}的前n项和为T
3.(13分)已知数列{an}的首项a1=a(a≠0),前n项和为Sn,且满足Sn+1-Sn=5an4an+1(
(1)判断数列1a
(2)若a1=56,记数列nan的前n项和为Tn,求T
4.(13分)已知在数列{an}中,a1=1,nan+1-(n+1)an=1.
(1)求数列{an}的通项公式;(6分)
(2)若数列{bn}满足bn=sinπ2an+1+cos(πan),求数列{bn}的前2026项和
答案精析
1.解(1)当n=1时,
由条件得a1-12a1=2,所以a1=4
当n=2时,
由条件得(a1+a2)-12a2=5
所以a2=2.
因为Sn-12an=n2+1
所以Sn-1-12an
=(n-1)2+1(n≥2),
两式相减得an-12an+12an-1=2n
即an+an-1=4n-2,
所以(an+1+an)-(an+an-1)
=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4,
从而数列{an+1+an}为等差数列.
(2)由(1)知an+an+1=4(n+1)-2=4n+2,
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=(4×1+2)+(4×3+2)+…+(4×19+2)=10×(6+78)
=420.
2.(1)解因为an+1=3an-2,
所以an+1-1=3(an-1),
又a1-1=9,
所以an+1
所以{an-1}是以9为首项,3为公比的等比数列,
所以an-1=9·3n-1=3n+1,
所以an=3n+1+1.
(2)证明由(1)知bn=a
=3
=3
=1
所以Tn=b1+b2+…+bn
=121
?133+1
=1
=18-12(3n
所以Tn18
3.解(1)若1a1-1=1
解得a=1,
则数列1a
若1a1-1=1a-1≠0,即a
因为Sn+1-Sn=5
所以an+1=5an4an+1
所以1an+1=4an+1
所以1an
所以1an+1?11an?1
当a≠1时,数列1an?1是以1?a
(2)由(1)知,1an-1=
所以1an=1
则nan=n1
则Tn=1×15+2×152+…+n15n
令Qn=1+2+…+n=n
令Kn=1×15+2×152+…+n
所以15Kn=1×152+2×153+…+(n-1)·1
①-②得
45Kn=15+152+153+
=15·1?15
=14-14
得Kn=516-4n
所以Tn=516-4n+516·
4.解(1)因为nan+1-(n+1)an=1,
可得an+1n+1
=1n-
所以当n≥2时,ann-a11=a22-a11+a33-a22+…+ann-an
又因为a1=1,则an=2n-1,
当n=1时,a1=1成立,
所以an=2n-1.
(2)由(1)知,
bn=sinπ2an+1+cos(
=sinπ2(2n+1)+cos[π(
=cosnπ+cosπ=cosnπ-1,
所以T2n=b1+b2+…+b2n=cosπ+cos2π+…+cos(2n-1)π+cos2nπ-2n,
因为cos(2n-1)π+cos2nπ
=-cos2nπ+cos2nπ=0,
所以(cosπ+cos2π)+…+[cos(2n-1)π+cos2nπ]=0,
所以T2n=-2n,所以数列{bn}的前2026项和为-2026.