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第六章 §6.5 数列求和.docx

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§6.5数列求和

分值:50分

1.(12分)(2025·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn-12an=n2+1,n∈N*

(1)求a1,a2,并证明:数列{an+an+1}是等差数列;(6分)

(2)求S20.(6分)

2.(12分)已知数列{an}满足a1=10,an+1=3an-2.

(1)求{an}的通项公式;(5分)

(2)若bn=an?1(an+2)an,记数列{bn}的前n项和为T

3.(13分)已知数列{an}的首项a1=a(a≠0),前n项和为Sn,且满足Sn+1-Sn=5an4an+1(

(1)判断数列1a

(2)若a1=56,记数列nan的前n项和为Tn,求T

4.(13分)已知在数列{an}中,a1=1,nan+1-(n+1)an=1.

(1)求数列{an}的通项公式;(6分)

(2)若数列{bn}满足bn=sinπ2an+1+cos(πan),求数列{bn}的前2026项和

答案精析

1.解(1)当n=1时,

由条件得a1-12a1=2,所以a1=4

当n=2时,

由条件得(a1+a2)-12a2=5

所以a2=2.

因为Sn-12an=n2+1

所以Sn-1-12an

=(n-1)2+1(n≥2),

两式相减得an-12an+12an-1=2n

即an+an-1=4n-2,

所以(an+1+an)-(an+an-1)

=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4,

从而数列{an+1+an}为等差数列.

(2)由(1)知an+an+1=4(n+1)-2=4n+2,

所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=(4×1+2)+(4×3+2)+…+(4×19+2)=10×(6+78)

=420.

2.(1)解因为an+1=3an-2,

所以an+1-1=3(an-1),

又a1-1=9,

所以an+1

所以{an-1}是以9为首项,3为公比的等比数列,

所以an-1=9·3n-1=3n+1,

所以an=3n+1+1.

(2)证明由(1)知bn=a

=3

=3

=1

所以Tn=b1+b2+…+bn

=121

?133+1

=1

=18-12(3n

所以Tn18

3.解(1)若1a1-1=1

解得a=1,

则数列1a

若1a1-1=1a-1≠0,即a

因为Sn+1-Sn=5

所以an+1=5an4an+1

所以1an+1=4an+1

所以1an

所以1an+1?11an?1

当a≠1时,数列1an?1是以1?a

(2)由(1)知,1an-1=

所以1an=1

则nan=n1

则Tn=1×15+2×152+…+n15n

令Qn=1+2+…+n=n

令Kn=1×15+2×152+…+n

所以15Kn=1×152+2×153+…+(n-1)·1

①-②得

45Kn=15+152+153+

=15·1?15

=14-14

得Kn=516-4n

所以Tn=516-4n+516·

4.解(1)因为nan+1-(n+1)an=1,

可得an+1n+1

=1n-

所以当n≥2时,ann-a11=a22-a11+a33-a22+…+ann-an

又因为a1=1,则an=2n-1,

当n=1时,a1=1成立,

所以an=2n-1.

(2)由(1)知,

bn=sinπ2an+1+cos(

=sinπ2(2n+1)+cos[π(

=cosnπ+cosπ=cosnπ-1,

所以T2n=b1+b2+…+b2n=cosπ+cos2π+…+cos(2n-1)π+cos2nπ-2n,

因为cos(2n-1)π+cos2nπ

=-cos2nπ+cos2nπ=0,

所以(cosπ+cos2π)+…+[cos(2n-1)π+cos2nπ]=0,

所以T2n=-2n,所以数列{bn}的前2026项和为-2026.

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