2025高考数学一轮复习数列讲义 第一章 数列的概念与简单表示法（学生版）.docx
第一章数列的概念与简单表示法
考情分析
1、数列的概念与简单表示法
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)
(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数
2021年北京卷：第10题，4分
数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容.
知识梳理
【知识点1数列的概念与基本知识】
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一
个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
分类标准
名称
含义
举例
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列
1,2,3,…,n
无穷数列
项数无限的数列
1,0,1,0,1,0,…
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一
项的数列
3,4,5,6,…,n+2
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一
项的数列
-1,-2,-3,…,-n
常数列
各项相等的数列
0,0,0,0,…
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
1,-2,3,-4,…
3．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
优点
缺点
通项
公式法
便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究
一些数列用通项公式表示比较困难
列表法
内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项
确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难
图象法
能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势
数列项数较多时用图象表示比较困难
递推
公式法
可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系
不容易了解数列的全貌，计算也不方便
6．数列的前n项和
数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.
如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做
这个数列的前n项和公式.
=.
【知识点2数列的通项公式的求解策略】
1．由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
2．由数列的递推关系求通项公式：
(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
(3)构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【知识点3数列的性质有关问题的解题策略】
1．数列周期性问题的解题策略：
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
2．求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.
(2)利用确定最大项，利用确定最小项.
【方法技巧与总结】
1．若数列{}的前n项和为，通项公式为，则=.
2．在数列{}中，若最大，则；若最小，则.
【题型1由an与Sn的关系求通项或项】
【例1】（202