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高中数学《函数的零点》

上海市甘泉外国语中学蔡逢祯

【教学目标】

1.理解函数零点的概念，掌握“函数零点存在”的判定方，初步学会用“二

分”求函数的零点；

2.经历函数零点的探索过程，体会“数形结合”、“特殊到一般”、“逼近”等

数学思想和方；

3.在合作学习、问题解决的过程中，感悟数学思维的严谨，逐步形成良好的

数学品质.

【教学重点】

理解函数零点的概念，学会用“二分”求函数的零点.

【教学难点】

理解零点存在的判定方.

【教学过程】

一、引入课题

问题(1)求方程J—2x-3=0的根

(2)函数/(》)=必一2》-3的图像与》轴交点的横坐标；

(3)两者之间有何关系？

二、探索新知

1.函数零点的概念

一般的，对于函数y=/(x)(xwZ),如果存在实数c(cc£)),当x=c时,

/(c)=0,那么就把x=c叫做函数,=/(x)(xe£))的零点.

2.方程的根与函数零点的关系

方程〃x)=0有实数根0函数y=的图像与x轴有交点门函数

y=有零点.

4

练习：求下列函数的零点⑴/(x)=3x-2；(2)g(x)=x-—.

三.归纳结论

观察函数/X（）的图像，并回答以下问题.

问题3（）此函数有没有零点？

4（）有几个零点？

5（）为什么是零点？有何判断依据?

1.在区间a［,句上__有（/无）零点;fa（）fb（）0（＜或＞）.

2.在区间瓦［c］上__有（/无）零点；/b（）于c（）0（（或＞）.

3.在区间c［,d］上__有（/无）零点；于c（）fd（）0（＜或＞）.

猜想：若函数在区间a［,同上图像是连续的，如果有成立，那么函

数y=区间a（,份上有零点.

零存在的判定方法：如果函数y=/x（）在定义区间a［,目上的图像是一条连

续不断的曲线，且有〃“）/伍）＜0,那么在区间a（力）内至少存在一个实数c,使

/c（）=0,也就是在3功内,函数y=〃x）至少有一个零.

思考辨析：

函数y=〃x）在区间a［,可上的图像是连续不断的一条曲线，

（1）若〃a）〃b）＞0,函数y=在区间°（力）上一定没有零点吗？一定有

零点吗？

2（）若㈤＜0,函数y=/x（）在区间a（力）上只有一个零点吗？可能有

几个？

3（）在满足定理的条件下，能否增加条件，可使函数y=〃x）在区间（〃力）上

只有一个零点？

【例题】有一块边长是13厘米的正方形金属薄片，如果先在它的四个角上都剪

去一个边长为x厘米的小正方形，然后做成一个容积为140立方厘米的无盖长方

体铁盒如（图），那么》是多少（图中单位：厘米，结果精确到0.1）?

4/—52/+169140=0

求这个三次方程在内的实数根，就是求函数

/(x)=4x3—52/+169X—140foxy|的零点.

请学生利用计算器，用描点作出函数/(x)在区间0,上的大致图像。

从表格和图像中可以看出，函数/(x)在区间(1,2)、(3,4)内各有一零点X、

问题(6)%这