第11讲函数的图像和零点（教师版）.docx

第11讲函数的图像和零点

【教学目标】

1．通过基础训练题，理解函数的图像变换的规律和零点的概念.

2．在典型例题的解决过程中，会利用图像变换绘画图像，运用函数的零点性质解决数学问题，感悟数形结合、分类讨论等数学思想方法

3．学会用函数的性质解决实际问题，发展逻辑推理、数学运算素养．

【教学重点】

函数图像变换的基本模型的分析

【教学难点】

分段函数的相关综合问题．

【知识梳理】

一、图像变换问题

注意：一切变换针对于变量本身

（1）平移变换：

ⅰ．函数的图象函数的图象；

ⅱ．函数的图象函数的图象；

（2）伸缩变换：

ⅰ．函数的图象函数的图象；

ⅱ．函数的图象函数的图象；

（3）对称变换：

ⅰ．函数的图象函数的图象；

ⅱ．函数的图象函数的图象；

ⅲ．函数的图象函数的图象；

（4）翻折：自变量加绝对值即把轴下方部分翻折到上方即可，自变量加绝对值需把轴左侧部分清除，并画出与右侧部分图像对称的图像.

i函数的图象函数图象；

ii函数的图象函数图象；

（5）顺序：针对于变量的运算，在变换过程中由外层运算向内层运算进行.但注意，由于习惯把单独放在等式左边，所以针对于的变换如在右侧进行的话，规则相反.

如：可由函数

（针对于的变换结束）

（针对于的变换结束）

二、函数的零点：对于函数，如果存在实数，当时，，那么就把叫做函数的零点.

注：零点是数.

用二分法求零点的理论依据是：零点定理（请认真查阅课本学习求零点的精确度关于次数的问题）

①函数在闭区间上连续；②；

那么，一定存在，使得.（反之，未必）

三、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【教学过程】

例1分别画出以下函数的图像：

（1）； （2）； （3）；

； （5）； （6）．

例2（1）函数的零点的个数为________．

由零点的定义可知，函数的零点即为方程在集合中的解．

当时，通过解方程，得，所以在时，该函数有且只有一个零点．

当时，将方程，转化为，

在同一个平面直角坐标系内画出函数和的大致图像．

观察得到两个函数的图像只有一个公共点．

因此方程有且只有一个正根，

即函数在时

有且只有一个零点．

（2）函数的一个零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为的定义域为，且在内单调递增，

可知在内单调递增，

且，

所以函数的唯一一个零点所在的区间是.

（3）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点，

得，解得，即命题成立的充要条件是，

显然成立，不等式、、都不一定成立，

而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，

所以命题成立的一个必要不充分条件是.

例3设函数，若，其中，则的取值范围是

【答案】

例4若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（?D??）

A． B．或.

C． D．或.

例5已知是函数，的一个周期．当时，．设，若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则的取值范围为．

分析数形结合是考察函数零点的首选方法．将函数的零点的个数，转化为方程的解的个数，再转化为函数的图像与常值函数的图像的交点的个数．

画出在区间上的大致图像．

考察函数在区间端点的函数值，极值，零点，得，，当时，，．

因为是函数的一个周期，利用函数的周期性，可以画出函数在区间上的图像．

如图，根据实数的不同取值，观察函数在区间的图像与直线的交点个数，

得时，无交点；

时，有个交点；时，有个交点；

时，有个交点；时，有个交点.

当且仅当时，函数在区间上的图像与直线有个交点，即函数在区间上有个零点．

所以，．

例6☆定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为．

例7☆设函数，若方程有6个不同