2025年高考数学必刷题分类：第25讲、函数的零点问题（教师版）.pdf

第讲函数的零点问题

25

知识梳理

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函

数零点情况，求参数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线yk)

x

在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其

图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

2、函数零点的求解与判断方法：

直接求零点：令＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(1)f(x)0

零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间，上是连续不断的曲线，且

(2)[ab]f(a)·f(b)

＜，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点．

0()

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点

的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

fx

3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将

fxgxhxgx,hx

整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个

数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.

4、利用导数研究零点问题：

（）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，

1

可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；

（）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值

2

域问题处理可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；.

（）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②

3

利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.

必考题型全归纳

题型一：零点问题之一个零点

例．（江苏南京南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数

12024··

12

fxlnxgxx2x1

,.

2

xgx3fx

（1）求函数的单调递减区间；

hxafxgxaR

（2）设，.

yhx

①求证：函数存在零点；

yhxmax0,m

②设a0，若函数的一个零点为.问：是否存在，使得当时，函数

yhxhx0a

有且仅有一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定的个数；如果不

存在，请说明理由.

12

【解析】（1