高等数学教案(极限部分)4-极限存在准则与两个重要极限.ppt

〔第二版〕

极限存在准那么

§1.4极限存在准那么

及两个重要极限

两个重要极限

时，

一、极限存在准那么

准那么1〔夹挤定理〕

〔2〕

那么

内有定义，

且满足以下条件：

〔1〕

有

证

故可找到公共

有

即

所以根据极限定义知

例

证明:

证明:

故由夹挤原理

对固定的m,因

故可设

两边n乘方

从而有

进一步

因左右侧极限:

故由夹挤原理

单调函数,

准那么2(单调有界有极限定理)

(数列形式)

单调有界数列必有极限.

(函数形式)

那么它在I内每一点的单侧极限存在.

由于此定理涉及理论较多,不作证明.

但定理结论能很方便从几何图形上观察出来,

并且也容易理解,见以下各例.

如左图,

单调递减有极限,且

如右图,

单调递减有极限,且

但收敛很慢.

函数图形如上,

请观察函数在每一点的单侧极限都存在,如

设

又因

例

解

说明n足够大后,

设其极限值为A,

界0,

二、两个重要极限

证明“重要极限1”

证如图,先考虑

一个很明显的几何事实:

扇形OAP的面积

利用

即

亦即

又可以写作

进而

由夹挤定理

所以

再看

那么当

根据上节最后的定理

于是

例求:

解

解

重要极限1的更一般的结果为:假设

(某变化过程),

那么由定理5有

证明“重要极限2”

先证数列单调上升.



根据定理6

因

存在,

再证

证

故根据夹挤原理,

得

因左侧

从而

x

(1+1/x)^x

1000

2.7169

2000

2.7176

3000

2.7178

4000

2.7179

5000

2.7080

6000

2.7181

7000

2.7181

值得注意的是

此重要极限收

敛速度很慢

重要极限2的几种不同形式

例

解

解

例

是比x高阶的无穷小;

是x的等价无穷小;

解(1)

(1)

于是可记为

(2)因

故sinx-tanx是比x高阶的无穷小

例如因

所以

求解

解：