上海市控江中学2024-2025学年高三下学期3月学情调研数学试卷（含答案解析）.docx
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上海市控江中学2024-2025学年高三下学期3月学情调研数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设集合，则．
2．若复数z满足，则复平面内复数所对应的点Z位于第象限．
3．已知函数，则．
4．若是函数两个相邻的零点，则的值为．
5．已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则．
6．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为．
7．已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为.
8．己知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为．
9．“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是．
10．在棱长为的正方体，中，，过点，，的平面截该正方体所得截面的周长为．
11．对一列整数，约定：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后的结果为p．若将从1到2030的2030个整数随机地输入，则p的最小值和最大值之和为．
12．机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于．
二、单选题
13．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（????）
A． B． C． D．
14．如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（???）个不同的正值．
A． B． C． D．
15．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：①；②将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点．下列判断正确的是（???）
??
A．①、②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题
16．设，为等差数列，令，，则“”是“”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
三、解答题
17．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
18．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中．
(1)写出关于的函数关系式；
(2)如何设计，使得有最大值？
19．若数列满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量．
(1)若，求随机变量X的分布列与数学期望；
(2)求，其中且．
20．如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，证明：；
(3)若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.
21．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．
(1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
(3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围．
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《上海市控江中学2024-2025学年高三下学期3月学情调研数学试卷》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
C
D
A
C
1．
【分析】解二次不等式求出集合A，再根据集合的交集运算法则可得答案.
【详解】集合，
所以．
故答案为：.
2．四
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可利用复数的几何意义求解.
【详解】因为，所以在复平面内与复数对应的点Z为，
故复数对应的点Z位于第四象限．
故答案为：四
3．
【分析】利用分段函数，代值求解即可.
【详解】因为，所以．
故答案为：.
4．
【分析】根据周期的计算公式即可求解.
【详解】由题意得函数的最小正周期