上海市杨浦高级中学2024-2025学年高三下学期期初摸底考数学试卷（含答案解析）.docx
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上海市杨浦高级中学2024-2025学年高三下学期期初摸底考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设集合，则.
2．关于的不等式的解集是.
3．已知函数，则.
4．若奇函数，则．
5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为．
6．已知向量，若与垂直，则等于.
7．已知的展开式中所有项的系数和为1024，则含项的系数为．（用数字作答）
8．一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则.
9．复数满足，则.
10．已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则.
11．已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为．
12．已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为.
二、单选题
13．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（??????）
A．2 B． C．1 D．
14．对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为，则是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（??????）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
15．在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（???）
A． B． C． D．
16．记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数.判断如下两个命题真假：
①函数包裹函数的充要条件是；
②若对于任意对任意都成立，则函数包裹函数.
则下列选项正确的是（????）
A．①真②假 B．①假②真 C．①②全假 D．①②全真
三、解答题
17．如图，在正三棱柱中，为中点，点在棱上，.
(1)证明：平面；
(2)求锐二面角的余弦值.
18．某风景区在一个直径为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点与圆弧上的一点之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点到点设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大．
19．随着5G时代的全面来临，借助手机，网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表.
不了解
了解
合计
女生
20
20
40
男生
10
合计
80
(1)取进行独立性检验，判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别是否有关；
(2)用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为，求的分布及数学期望；
(3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”.
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞赛的学生人数.（四舍五入后取整）
附：（1），其中，；
（2）若，则：，，.
20．已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上的一动点，直线与的斜率之积为，面积的最大值为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于，两点，记直线，的斜率分别为，，若.
（i）求证：直线过定点；
（ii）求面积的最大值.
21．若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
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《上海市杨浦高级中学2024-2025学年高三下学期期初摸底考数学试卷》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
A
D
D
D
1．