微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题（原卷版）.docx

微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题 【秒杀总结】 1、立体图形中的截面问题： （1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积. 2、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得关于平面的对称点，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 3、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的静是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.静只是动的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住静的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解. 【典型例题】 例1．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（????） A． B． C． D． 例2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（????） A．圆锥的侧面积为 B．的取值范围为 C．若为线段上的动点，则 D．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 例3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）正四棱台中，，侧棱与底面所成角为分别为，的中点，为线段上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（????） A．该四棱台的体积为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截该棱台所得截面为六边形 D．异面直线与所成角的余弦值为 例4．（2023秋·山东德州·高三统考期末）正方体的棱长是，、分别是、的中点，则下列结论正确的是（????） A． B．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 C．平面截正方体所得的截面周长是 D．与平面所成的角的正切值是 例5．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知正方体的棱长均为为线段的中点,,其中,则下列选项正确的是（????） A．当时, B．当时,的最小值为 C．若直线与平面所成角为,则点的轨迹长度为 D．当时,正方体被平面截的图形最大面积为 例6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）在正方体中，分别为棱中点，为近C三等分点，P在面上运动，则（?????） A．∥平面 B．若，则C点到平面PBH的距离与P点位置有关 C． D．若，则P点轨迹长度为 例7．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）在三棱锥P-ABC中，，点M，N分别是PB，BC的中点，且，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________． 例8．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）如图，在棱长为a的正方体中，P，Q分别为的中点，点T在正方体的表面上运动，满足． 给出下列四个结论： ①点T可以是棱的中点； ②线段长度的最小值为； ③点T的轨迹是矩形； ④点T的轨迹围成的多边形的面积为． 其中所有正确结论的序号是__________． 例9．（2023春·云南·高三校联考开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，点P满足．则点P的轨迹方程为____________；在三棱锥中，平面，且，该三棱锥体积的最大值为______________． 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·北京顺义·统考一模）在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（????） A．与无关，与有关 B．与有关，与无关 C．与都有关 D．与都无关 2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在三棱锥A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（????） A．π B． C． D．2π 3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（????） A． B． C． D．2 4．（2023秋·河北保定·高二统考期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足，面ABC，⊥，若，则该“鞠”的体积的最小值为（?