专题11 立体几何中的截面与轨迹问题（6大题型）（原卷版）.docx
专题11立体几何中的截面与轨迹问题
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TOC\o1-1\h\u题型01截面形状问题 1
题型02截面面积、周长问题 5
题型03截面切割几何体体积问题 6
题型04平行、垂直相关的轨迹问题 7
题型05距离、角度相关的轨迹问题 9
题型06翻折相关的轨迹问题 11
题型01截面形状问题
【解题规律·提分快招】
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型
五、截面是圆锥曲线的原理剖析
令平面与轴线的夹角为θ0θ90
当时,截口曲线为椭圆;
(2)当时,截口曲线为抛物线;
(3)当时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（????）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．（2024高三·全国·专题练习）过正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使得截面与底面所成的角为45°，则此截面的形状为（）
A．三角形或五边形
B．三角形或六边形
C．六边形
D．三角形
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，一块正方体木料的棱长为3米，点在棱上，且，过点把木料据开且锯面与平行，问木料表面上的锯痕是什么形状？
??
题型02截面面积、周长问题
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体中，分别是的中点