立体几何中的最值与动态问题.doc

立体几何中的最值问题 海红楼 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 一、运用变量的相对性求最值 例1. 在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面边长为，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（ ） A. B. C. 2 D. 1 解析：如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当OQ最小时，PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，中。又P在BD上运动，且当P运动到点O时，PQ最小，等于OQ的长为，也就是异面直线BD和SC的公垂线段的长。故选B。 图1 二、定性分析法求最值 例2. 已知平面α//平面β，AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB与平面α成30°角，则线段CD的长的最小值为______。 解析：如图2，过点B作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B作BE//CD交平面α于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan∠BAO=3·tan30°=。故。 图2 三、展成平面求最值 例3. 如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（ ） A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c 图3-1 解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A’、D与D’在四面体中是同一点，且，，A、C、A’共线，D、B、D’共线，。又四边形PQRS在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S在四面体中是同一点。因而当P、Q、R在S’S上时，最小，也就是四边形PQRS周长最小。又，所以最小值。故选B。 图3-2 四、利用向量求最值 例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为_______。 解析：以A为坐标原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x，y，z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设P（x，0，x），则，，那么 图4 式子可以看成x轴正半轴上一点（x，0，0）到xAy平面上两点、的距离之和，其最小值为。所以GP+PB的最小值为。 立体几何中的最值问题 一、线段长度最短或截面周长最小问题 例1. 正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1 解析： (1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝＝＝ (2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2. 则MN＝＝＝ ∵＜ ∴＝. 例2.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1）求MN的长； （2）当为何值时，MN的长最小； （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。 解析：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, ∴,, 即, ∴ （2）由（1）知: ， (3)取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN， ABCDEFG A B C D E F G H P M N 。故所求二面角。 例3. 如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为。点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN ,(1)求证:MN//面BCE ; (2)求证:MNAB; (3)求MN的最小值. 解析：(1)如图,作MG//AB交BC于G, NH//AB交BE于H, MP//BC交AB于P, 连PN, GH , 易证MG//NH,且MG=NH, 故MGNH为平行四边形,所以MN//GH , 故MN//面BCE ; (2)易证AB面MNP, 故MNAB ; (3)即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即,设AP=x , 则BP=a－x , ＮP=a－x ,　所以： ， ABFECD A B F E C D P N M 例4.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=