洛必达法则在导数中的应用2种常考题型总结 (1).docx
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微专题5-23洛必达法则在导数中的应用2种常考题型总结
题型1洛必达法则的直接应用
题型2利用洛必达法则解决恒成立问题
洛必达法则是微分学的一个重要定理,是求解未定型极限的有效方法之一.这一方法主要运用于分数形式的未定式计算,但在具体求解过程中需要对问题进行分析,判断其是否满足洛必达法则运算条件.洛必达法则的思维逻辑方式为后验逻辑,且法则涉及无穷小或无穷大,学习和理解的难度较大.采用洛必达法则求解未定式极限问题,不定式极限包括00型、∞∞型、0?∞型、1∞型、∞0型、00型、∞?∞型等,除00型和∞
1洛必达法则的主要类型
洛必达法则是在一定条件下对分子和分母分别求导,然后求极限,进而获得不定式值的解题方法.根据现有认知水平,两个无穷大之比或两个无穷小之比的极限有存在的可能性,但也有不存在的可能性.因此,求解这类不定式极限时需要将其转化为重要极限形式或运用极限运算法则的表达形式展开计算,而洛必达法则是求解这类不定式极限的通用方法.
1.100型不定式
00型不定式指fx和gx两个函数必须满足以下几个条件:①函数fx和gx在a的某去心邻域内是可导的.且g′x≠0
lim
上述法则中,将a替换成∞,等式同样成立.
1.2∞∞型不定式
∞∞型不定式指fx和gx两个函数必须满足以下几个条件:①函数fx和gx在a的某去心邻域内是可导的.且g′x≠0
lim
上述法则中,将a替换成∞,等式同样成立.
1.3其他类型不定式
除00型和∞∞型不定式外,还存在0?∞型、1∞型、∞0型、00
(1)0?∞型不定式求解时可将题目中的无穷大或无穷小变形,转化为00型和∞
以求解limx→0+xlnx的极限为例,x
limx
(2)1∞型不定式求极限时可以利用elna=a的对数性质,将题目中的函数转换为以e为底数的指数型函数,再继续求极限,即1∞=eln1∞=e∞?ln1
求解limx
lim
(3)∞0型、00型不定式求极限时同样可以利用elna=a
(4)∞?∞型不定式求解时需要先将两个无穷大变形为无穷小的倒数形式,再进行通分整理转换成00型不定式.以求解lim
lim
2洛必达法则应用注意事项
应用洛必达法则可以将不定式的极限运算转变为较简单的导数运算,为求解极限提供了一种较为简单、有效的运算途径,但应用洛必达法则解题时必须注意以下几点.
2.1洛必达法则应用条件
在应用洛必达法则求解之前,必须对题目进行验证,以确定其是否满足洛必达法则的使用条件.其一,分子与分母的极限是否都等于无穷大或0;其二,在限定区域内,分子和分母是否均可导.如果题目满足上述两个条件,则对函数进行求导,并判断求导之后是否存在极限.如果求导后仍然不确定是否存在极限,则结果仍为不定式,需要继续进行验证,直至其满足条件,才可以使用洛必达法则?60.使用洛必达法则时,忽略前提条件会导致计算结果出现误差.例如,忽略使用法则的前提条件,直接运用洛必达法则求解时会得到limx→0exx=limx→0ex1=limx→0ex=1的结果,但
2.2结合多种方法解题
运用洛必达法则解析求极限类问题,当遇到00型、∞∞型不定式求极限时,如优先考虑使用洛必达法则,部分问题会变得更加复杂,甚至出现步骤循环.因此,使用洛必达法则求解时要遵循化繁为简的思路,即使用一个较为简单的函数式极限形式替代题目中复杂的极限,洛必达法则并不是万能解题途径.换言之,解析不定式极限时,应分析不定式极限所属类型,并综合分析其他求极限方法是否适用,从而找到最佳、最简的方式.例如,解析求极限类问题时结合等价无穷小替换公式,可减少计算量、提高正确率.常用的等价无穷小替换公式如下:sinx
简记：
一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1、法则1（型）：若函数和满足下列条件：
（1）设当时，及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（3）；则：.
2、法则2（型）：若函数和满足下列条件：
(1)及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
(3)，则：.
3、法则3（型）：若函数和满足下列条件：
(1)及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
(3)，则：=.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理型。
（3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错