高考导数(洛必达法则).doc

第二局部：泰勒展开式

1.其中；

2.其中；

3.，其中；

4.其中；

第三局部：新课标高考命题趋势及方法

许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用别离参数的方法，一局部题用这种方法很凑效，另一局部题在高中范围内用别离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用别离参数的方法不能解决这局部问题的原因是出现了”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法那么.

第四局部：洛必达法那么及其解法

洛必达法那么：设函数、满足：

〔1〕；〔2〕在内，和都存在，且；

〔3〕〔可为实数，也可以是〕.那么.

〔2011新〕例：函数，曲线在点处的切线方程为.

〔Ⅰ〕求、的值；〔Ⅱ〕如果当，且时，，求的取值范围.

〔Ⅰ〕略解得，.〔Ⅱ〕方法一：分类讨论、假设反证法

由〔Ⅰ〕知，所以.

考虑函数，那么.

(i)当时，由知，当时，.因为，

所以当时，，可得；当时，，可得

，从而当且时，，即；

〔ii〕当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.

〔iii〕当时，，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.

注：分三种情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.当，且时，，即，

也即，记，，且

那么，

记，那么，

从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.

由洛必达法那么有

，

即当时，，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.

注：此题由很容易想到用别离变量的方法把参数别离出来.然后对别离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法那么的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.

例〔2010新〕：设函数.

〔Ⅰ〕假设，求的单调区间；〔Ⅱ〕当时，，求的取值范围.

应用洛必达法那么和导数〔Ⅱ〕当时，，即.

①当时，；②当时，等价于.

记，那么.

记，那么，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.

由洛必达法那么有，

即当时，，所以当时，所以，因此.

综上所述，当且时，成立.

自编：假设不等式对于恒成立，求的取值范围.

解：应用洛必达法那么和导数

当时，原不等式等价于.记，那么.

记，那么.因为，

，所以在上单调递减，且，

所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，

且，故，因此在上单调递减.

由洛必达法那么有，

即当时，，即有.故时，不等式对于恒成立.

通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法那么解决的试题应满足：

〔1〕可以别离变量；②用导数可以确定别离变量后一端新函数的单调性；③出现“”型式子.

2010海南宁夏文〔21〕

函数.

〔Ⅰ〕假设在时有极值，求函数的解析式；〔Ⅱ〕当时，，求的取值范围.

解：〔Ⅱ〕应用洛必达法那么和导数时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，那么.

记，，那么，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.

由洛必达法那么有，即当时，所以，即有.

综上所述，当，时，成立.

2010全国大纲理〔22〕设函数.

〔Ⅰ〕证明：当时，；〔Ⅱ〕设当时，，求的取值范围.

解：〔Ⅰ〕略 〔Ⅱ〕应用洛必达法那么和导数

由题设，此时.①当时，假设，那么，不成立；

②当时，当时，，即；假设，那么；

假设，那么等价于，即.

记，那么.

记，那么，.

因此，在上单调递增，且，所以，

即在上单调递增，且，所以.

因此，所以在上单调递增.

由洛必达法那么有，即当时，

，即有，所以.综上所述，的取值范围是.

〔2008〕例：设函数．

〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕如果对任何，都有，求的取值范围．

解：〔Ⅰ〕．

当〔〕时，，即；

当〔〕时，，即．因此在每一个区间〔〕是增函数，在每一个区间〔〕是减函数．

〔Ⅱ〕应用洛必达法那么和导数假设，那么；假设，那么等价于，即那么.记，

因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，而.另一方面，当时，，因此.