第四章微分中定理和导数的应用42洛必达法则.ppt

* 《高等数学》课件 (第四章第二节) 4.2 洛必达 (L’Hospital) 法则 在求一些特殊类型的极限时, 其结果呈现不确定性, 我们称这些类型的极限为不定式. 如 : f (x) ? 0, g (x) ? 0, 称极限 , 为 型; f (x) ? ?, g (x) ? ?, 称极限 , 为 型; f (x) ? 0, g (x) ? ?, 称极限 lim f (x) ? g (x), 为 0 ? ? 型; f (x) ? ?, g (x) ? ?, 称极限 lim (f (x) ? g (x)), 为 ? ? ? 型; f (x) ? 0, g (x) ? 0, 称极限 lim (f (x)) g (x) 称为 0 0 型; f (x) ? ?, g (x) ? 0, 称极限 lim (f (x)) g (x) 为 ? 0 型; f (x) ? 1, g (x) ? ?, 称极限 lim (f (x)) g (x) 为 1 ? 型. 《高等数学》课件 (第四章第二节) 4.2.1 关于 型及 型不定式的洛必达法则 定理 4-4 (L’Hospital 洛必达法则) 如果 f (x) 和 g (x) 满足下列条件 : (1) 在 x 0 的某一去心邻域内可导, 且 g? (x) ? 0 ; 则 《高等数学》课件 (第四章第二节) 证明 补充定义 f (x 0) = g (x 0) = 0, 则 f (x), g (x) 在区间 [x, x 0] 和 [x 0, x] 上满足 Cauchy 中值定理的条件, 由 Cauchy 定理, 在 x 0, x 之间存在 ?, 使得 令 x ? x 0, 必有 ? ? x 0, 从而 注 1 将条件 (2) 换为 定理的结论仍然成立. 《高等数学》课件 (第四章第二节) 注 2 对于 和 型的极限, 当极限过程为 x 0?, x ? x 0+, x ? ?, x ? ? ?, x ? + ?, 定理的结论仍然成立. 注 3 当极限 不存在时, 不能断定极限 不存在, 需用其他方法讨论极限 . 注 4 对于 和 型数列极限 不能直接应用罗必达法则. 《高等数学》课件 (第四章第二节) 例 1 求 解 《高等数学》课件 (第四章第二节) 例 2 求 解 对指数函数 a x (a 1), 幂函数 x ? (? 0) 和对数函数 (log b x) ? (b 1, ? 0), 当 x ? + ? 时, 它们都趋于正无穷, 例 2 表明, 指数函数是比幂函数高阶的无穷大, 同样, 幂函数是比对数函数高阶的无穷大. 《高等数学》课件 (第四章第二节) 例 3 求 解 这是 型的极限, 但极限 不存在, 所以不能使用罗必达法则. 但可用其它方法求极限. 其中第一个等式使用等价无穷小替换, 第二个等式应用无穷小量与有界变量的乘积. 《高等数学》课件 (第四章第二节) 例 4 求 解 注 当分子或分母的某个因子的极限存在且不为零, 则可将其单独求出. 《高等数学》课件 (第四章第二节) 例 5 求 解 《高等数学》课件 (第四章第二节) 例 6 求 解 《高等数学》课件 (第四章第二节) 4.2.2 其他类型的不定式 0 ? ? 型不定式, 可通过以下方式转化为 或 型不定式, 《高等数学》课件 (第四章第二节) 解 例 7 求 《高等数学》课件 (第四章第二节) 例 8 求 解 注 将 0 ? ? 型极限转换为 或 型极限求解时, 要根据具体情况来