中值定理与导数的应用中值定理罗必达法则.PPT

第三章 中值定理与导数的应用 3.1 中值定理 3.2 罗必达法则 3.3 函数单调性的判别法 3.4 函数的极值 3.5 函数的最大值和最小值 3.6 曲线的凹凸与拐点 3.7 函数图像的描绘 ﹡3.8 曲率 例4 作函数 的图像. (1)函数的定义域为 解 所以 是偶函数，它的图像关于y轴对称. 3.7 函数图像的描绘 (2) 首页 上页 下页 (3)列表讨论如下: 拐点 拐点 曲线 极大值1 y ＋ 0 － － 0 ＋ － － 0 ＋ ＋ 0 x 3.7 函数图像的描绘 直线y=0为水平渐进线. 首页 上页 下页 3.7 函数图像的描绘 首页 上页 下页 例5 作函数 的图像. 解 (1) 函数的定义域为 令 得 令 得 (3) 列表讨论如下: 3.7 函数图像的描绘 (2) 首页 上页 下页 拐点 曲线 极大值4 + 0 - - - - - 0 + - 6 (3,6) 3 x 3.7 函数图像的描绘 首页 上页 下页 所以直线y=1为水平渐进线，x=-3为铅直渐进线. (5) 综上所述得图像 3.7 函数图像的描绘 (4) 首页 上页 下页 ﹡3.8 曲率 1. 弧微分 2. 曲率及其计算公式 3. 曲率圆和曲率半径 首页 上页 下页 ﹡3.8 曲率 1. 弧微分 首页 上页 下页 ﹡3.8 曲率 弧微分 就是曲线上点M处的切线段|MT|. 通常把直角三角形MRT叫作曲线在点M的微分三角形. 弧微分公式 s=s(x)是x的单调增加函数，从而根号前应取正号， 首页 上页 下页 例1 求正弦曲线 的弧微分. 解 例2 求圆 的弧微分. 解 ﹡3.8 曲率 首页 上页 下页 3.4 函数的极值 定理引入 首页 上页 下页 在点 的一个邻域内 定理2 （第一充分条件） 设函数 在点 连续且可导（但 可以不存在）. （1）如果在 的邻域内，当 时， 当 时， ，则函数 取得极大值 （2）如果在 的去心邻域内， 时， 当 时， ，则函数 在点 取得极小值 3.4 函数的极值 （3）如果在 的邻域内，当 首页 上页 下页 （2）求导数 ; 3.4 函数的极值 综合上面两个定理，得到求函数极值的一般步骤如下： （1）求函数的定义域； （3）求 的全部驻点或导数不存在的点； （4）讨论各驻点或导数不存在的点是否为极值点， 是极大值点还是极小值点； （5）求各极值点的函数值，得到函数的全部极值. 首页 上页 下页 例1 求函数 的极值. 解 （1）函数的定义域为 （2） （3）令 得驻点 3.4 函数的极值 （4）列表讨论如下: 极小值－6 极大值21 ＋ 0 － 0 ＋ 1 (-2,1) -2 x 首页 上页 下页 3.4 函数的极值 首页 上页 下页 例2 求函数 的极值. （1）函数的定义域为 解 （2） （3）令 得驻点 （4）列表讨论如下: 极小值0 + 0 + 0 - 0 - 1 (0,1) 0 (-1,0) -1 x 3.4 函数的极值 首页 上页 下页 由上表知，函数的极小值为 .驻点 不是极值点，如下图所示. 3.4 函数的极值 首页 上页 下页 例3 求函数 的极值. 解 （1）函数的定义域为 （2） （3）令 得驻点 当 时，导数不存在. （4）列表讨论如下: 极小值 极大值0 + 0 - 不存在 + 1 (0,1) 0 x 3.4 函数的极值 首页 上页 下页 由上表知，函数的极大值为 3.4 函数的极值 函数的极小值为 首页 上页 下页 取得极小值. 在点 定理3 （第二充分条件） 设函数 处具有二阶 导数且 （1）如果 ，则函数 在点 （2）如果 ，则函数 在点 取得极大值. 3.4 函数的极值 注意 充分条件来判定. 首页 上页 下页 3.4 函数的极值 例4 求函数 在区间 上的极值. 解 首页 上页 下页 （1）求函数 的导数，并求出所有的驻点和导数不存在的点. （3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是 在闭区间[a，b]上的最大值，最小的就是 在闭区间[a，b]上的最小值. 3.5 函数最大值和最小值 求函数 在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤为： （2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值. 首页 上页 下页 3.5 函数最大值和最小值 例1 求函数 的最大值和 最小值. 解 令 所以最大值为 ，最小值为 （2）求出区间端点及各驻点的函数值分别是 （1）求函数的导数，得 首页 上页 下页 例2 用一块边长为24cm的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒，问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积