多元函数积分学基础课件.ppt

一、實例

1.曲頂柱體的體積

在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为

底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以zf

(x,y)]表示的曲面S为顶[这里f(x,y)0且在D上连续]的几何体称

为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)

z

zf(x,y)

Oy

xD

圖8-1曲頂柱體

由于曲顶柱体的高f(x,y)是变动的,因此它的体积不能直接用公式

体积=底面积高

来计算.为此,可采用类似于求曲边梯形面积的方法来研究曲顶柱

体的体积

用有限条曲线把闭区域任意分割为个小闭区域

(1)Dn1,2,

同时表示第个小闭区域的面积再

3,,n,i(i1,2,,n)i,

以每个小闭区域为底将曲顶柱体划分为个小曲顶

i,(i1,2,,n)n

柱体其中第个小曲顶体的体积记为

,iVi,(i1,2,,n).

在每个小闭区域中任取一点见图可以

(2)iP(xi,yi)(82),Vi

近似地等于以为底以为高的平顶柱体的体积,即

i,f(xi,yi)

Vif(xi,yi)i

z

zf(x,y)

Oy

D

i

P(xy)

xii

圖8-2曲頂柱體劃分

n

(3)把n个小平顶柱体体积相加得f(x,y),它就是曲顶

iii

i1

柱体体积V的近似值,即

n

Vf(x,y)

iii

i1

n

(4)对闭区域D的分割不断加细加密,f(x,y)就越来越

iii

i1

近曲顶柱体的体积V.当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域

n

上任意两点的最大距离)0时,f(x,y)的极限就是V,即

iii

i1

n

Vlimf(x,y)

0iii

i1