多元积分学课件.ppt
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* 多元函数积分学 二重积分的换元法 在具体问题中，选择变换公式的原则有两条： 1）使经过变换后的被积函数容易积分. 2）使变换后的积分区域比较简单，积分限容易定出. 二、例题精解 *
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第十一章 多元函数积分学 第一节 二重积分的概念与计算 一、二重积分的概念与性质 二、在直角坐标系中计算二重积分 三、在坐标系中计算二重积分 第二节 二重积分应用举例 一、平面薄板的质量 *第三节 三重积分的概念与计算 一、三重积分的概念 三、在柱面坐标系中计算三重积分 四、在球面坐标系中计算三重积分 *第四节 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念及性质 二、对坐标的曲线积分的计算 *第五节 格林（Green）公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 *第六节 对坐标的曲面积分及其应用 一、对坐标的曲
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《多元函数积分学》课件.ppt
多元函数积分学欢迎来到多元函数积分学课程。本课程将深入探讨二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分等重要概念，以及它们在实际应用中的重要性。通过本课程，您将掌握处理复杂积分问题的技能，为进一步学习高等数学奠定坚实基础。让我们开始这段激动人心的数学之旅吧！
课程大纲1二重积分我们将从二重积分开始，学习其定义、性质和计算方法。这是理解多维积分的基础。2三重积分接着，我们将探讨三重积分，了解如何在三维空间中进行积分运算。3曲线积分曲线积分是一个重要概念，我们将学习其两种类型及其应用。4曲面积分最后，我们将研究曲面积分，了解其在物理和工程中的重要应用。
二重积分概念定义二重积分是对二元函数在平面区域上的
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**多元函數積分學（1）重積分的引例與定義（2）重積分的性質（3）二重積分的幾何意義第一節多元數量值函數積分復習和總結：定積分（1）定積分是用來解決哪一類問題？（2）解決這一類問題採用了什麼思想方法？（3）如何計算定積分？定積分:求非均勻分佈在區間上的量的求和問題要求解非均勻分佈在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計算的量與多元函數及平面或空間區域有關被積函數積分範圍二元函數平面區域二重積分三元函數空間區域三重積分一段曲線曲線積分一片曲面曲面積分被積函數是一元函數，積分範圍是直線上的區間1-1引例：求某一非均勻分佈的物體的品質。用“分、勻、合、精”的思想來求品質1、物體為細棒2、物體為薄板3
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多元函数积分学基础课件.ppt
一、實例
1.曲頂柱體的體積
在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为
底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以zf
(x,y)]表示的曲面S为顶[这里f(x,y)0且在D上连续]的几何体称
为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
z
zf(x,y)
Oy
xD
圖8-1曲頂柱體
由于曲顶柱体的高f(x,y)是变动的,因此它的体积不能直接用公式
体积=底面积高
来计算.为此,可采用类似于求曲边梯形面积的方法来研究曲顶柱
体的体积
用有限条曲线把闭区域任意分割为个小闭区域
(1)Dn1,2,
同时表示第个小闭区域的面积再
3,
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一、實例
1.曲頂柱體的體積
在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为
底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以zf
(x,y)]表示的曲面S为顶[这里f(x,y)0且在D上连续]的几何体称
为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图7-1)
z
zf(x,y)
Oy
xD
圖7-1曲頂柱體
由于曲顶柱体的高f(x,y)是变动的,因此它的体积不能直接用公式
体积=底面积高
来计算.为此,可采用类似于求曲边梯形面积的方法来研究曲顶柱
体的体积
用有限条曲线把闭区域任意分割为个小闭区域
(1)Dn1,2,
同时表示第个小闭区域的面积再
3,
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一、實例
1.曲頂柱體的體積
在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为
底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以zf
(x,y)]表示的曲面S为顶[这里f(x,y)0且在D上连续]的几何体称
为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图7-1)
z
zf(x,y)
Oy
xD
圖7-1曲頂柱體
由于曲顶柱体的高f(x,y)是变动的,因此它的体积不能直接用公式
体积=底面积高
来计算.为此,可采用类似于求曲边梯形面积的方法来研究曲顶柱
体的体积
用有限条曲线把闭区域任意分割为个小闭区域
(1)Dn1,2,
同时表示第个小闭区域的面积再
3,
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多元函数积分学 二重积分的的定义与性质 二重积分的计算 利用变量替换计算二重积分 三重积分的定义与计算 重积分的应用 曲线积分与曲面积分 二重积分的定义 y x o x=y2 1 1 D亦是 y 型区域 0 1 y2 例2. 其中D为由 x=0 和 y=0 及 y = 2?2x 所围成的闭区域. y x o 2 1 y = 2?2x 解: D为 x 型区域 0 1 0 D亦为 y 型区域 0 2 0 y x o 2 1 y=2?2
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解 则 二、*等价结论 推论 同格林公式推论。 用法： 四、小结 3．斯托克斯公式及其推论应用的方法 2．斯托克斯公式的实质 1．斯托克斯公式 （注意条件） 一、高 斯 公 式 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面曲面积分之间的关系. *证 同理 证毕 解1 解2 使用Guass公式时应注意: 解 另解 证 ? ?拉普拉斯(Laplace)算子 格林第一公式 二、*等价结论 对空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通区域; 如果G内任一闭曲线总可以张成一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
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前页结束后页章关于多元函数积分学第1页，共41页，星期日，2025年，2月5日若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)≥0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.引例1曲顶柱体的体积.8.1.1二重积分的概念8.1二重积分的概念与性质现在来求这个曲顶柱体的体积.第2页，共41页，星期日，2025年，2月5日其中既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.(2)近似记为的直径(即表示中任意两点间距离的最大值)，在中任取一点,以为高而底为的平顶柱体体积为解(1)分割用两组曲线把区域D任意分割
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多元函数积分学Ⅰ.doc
第十章多元函数积分学
一元函数积分学中，我们已经建立了定积分理论，本章将把这一理论推广到多元函数，建立起多元函数积分学的理论，并把这一类统一地描述为黎曼积分.
第一节二重积分
一、二重积分的概念
下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.
1.曲顶柱体的体积
设z=f（x，y）是定义在有界闭区域D上的非负（即f（x，y）≥0）连续函数，它在直角坐柱系中的图形是空间曲面S，怎样求以曲面S为顶，以闭区域D为底，其侧面是一柱面（它的准线是闭区域D的边界L，母线平行于z轴）的曲顶柱体的体积呢（图101）？
图101
分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以
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多元函数积分学-6.ppt
§8.6 对面积的曲面积分 一、概念的引入 二、对面积的曲面积分的定义 三、计算方法 * * 江西理工大学理学院 * 江西理工大学理学院 * 江西理工大学理学院 实例 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 1.定义 2.对面积的曲面积分的性质 则 按照曲面的不同情况分为以下三种： 则 则 例1 解 解 依对称性知： 例3 解
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多元函数积分学5.ppt
§8.5 第一类曲线积分 (对弧长的曲线积分) 一、问题的提出 三、对弧长曲线积分的计算方法 四、几何与物理意义 * * 江西理工大学理学院 * 江西理工大学理学院 * 江西理工大学理学院 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 M的近似值 M的精确值 取近似 非匀质之质量？ 线密度 弧长 二、第一类曲线积分的概念 1.定义 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 1). 存在条件： 2). 推广 说明： 2. 性质 定理 注意: 特殊情形 推广: 例1 解 x y o
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d多元函数积分学一(p).ppt
第十、十一章 一、知识点与考点精讲 ②如果积分区域D关于y轴左右对称, 3.重积分的计算法 特别地: 若积分区域 D 的图形为: (2) 三重积分 若积分区域?为柱体, 2.性质: 此外, 若曲线L: (三) 对坐标的曲线积分(第二型曲线积分) 3.计算法. 若曲线L: 4.两类曲线积分的联系 6.曲线积分与路径无关的条件 7.对坐标的曲线积分的计算流程图: (四)对面积的曲面积分(第一型曲面积分) 性质8. 3.计算法 3.计算法 (3)要计算 其中 二、典型例题分析与解答 例2. 例3. 题型(二) 三重积分 例3. 题型(三)对弧长的曲线积分 例2 . 例4. 由 题型(五)
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第08章 多元函数积分学.ppt
例9 交换二次积分 的积分次序. 解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域用不等式表示为： 转换为先对y积分，后对x积分，作平 行于y轴的直线与区域D相交，得下限 为y = x,上限为y=2–x，因此 在D中 ， 例 计算 ,其中D为y=x-4 和y2=2 x 所围成的区域 解 先对x积分 与极角等于 和 的两条 这个小区域近似地看作是边长为 和 的小矩形，所以它的面积 二、二重积分在极坐标下的计算
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第七讲-多元函数积分学(一).doc
第七讲 多元函数积分学（一）
知识点分析：
一、二重积分
1、二重积分的概念：
设二元函数定义在有界闭区域上，则二重积分
精确定义求极限问题：
先提出，在凑出，可以看出是0到1上的，是0到1上的，是0到1上的
注：①二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域由一条或几条逐段光滑闭曲线围成，当在上连续时，或者在上有界，且在除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则在上可积。
②极限存在与的分割方式无关。
③几何意义曲顶柱体的体积；物理意义的质量。
2、二重积分的性质
（1）区域面积，其中为区域的面积。
（2）可积函数必有界：当在闭区域上可积时，则在上必有界
（3）线性性质：为常数