二项分布、正态分布及其应用.doc

二项分布及其应用、正态分布

一、知识点归纳

1．条件概率

〔1〕定义：设A和B为两个事件，P(A)0，称为在事件A发生的条件下B发生的条件概率.读作A发生的条件下B发生的概率．

〔2〕性质：①；②如果B、C是两个互斥事件，那么

2.事件相互独立

〔1〕相互独立事件的定义：

设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),那么称事件A与事件B相互独立

假设与是相互独立事件，那么与，与，与也相互独立

〔2〕推广：如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即．

3.独立重复试验：

(1)独立重复试验的定义：指在同样条件下重复做的n次试验。

(2)独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率．

4.二项分布：

〔1〕定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X是一个随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

，〔k＝0,1,2,…，n，〕．

此时称随机变量X服从二项分布，记作~,并称p为成功概率.

(2)假设~，那么，.

5.正态分布与正态曲线：

〔1〕定义：函数，其中实数和〔0〕为参数.我们称的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足那么称随机变量X服从正态分布，正态分布完全由参数确定，因此正态分布常记作,如果随机变量X服从正态分布，那么记为X~

(2)正态曲线的性质：

①曲线在x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的且关于直线x=对称；③曲线x=处到达峰值；

④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越”矮胖”表示总体的分布越分散，越小，曲线越”瘦高”，表示总体的分布越集中.

(3)正态分布在区间的概率为68.3?，在区间的概率为95.4?，在区间的概率为99.7?.正态总体在以外取值的概率只有4.6?，在以外取值的概率为0.3?，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

二、例题选讲

题型一条件概率与事件的独立性

例1一个正方形被平均分成9个局部，向大正方形区域随机地投掷一个点〔每次都能投中〕，设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P〔AB〕，P〔A︱B〕答案：

例2甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．

〔Ⅰ〕求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；

〔Ⅱ〕求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．

解：记分别表示甲击中9环，10环，分别表示乙击中8环，9环，

表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，

表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，

分别表示“三轮中恰有两轮甲击中环数多于乙击中的环数”及“三轮甲击中环数多于乙击中的环数”．

〔Ⅰ〕P(A)．

〔Ⅱ〕，，

，

题型二二项分布

例3袋子A和B中装有假设干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

〔1〕从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．

(i)求恰好摸5次停止的概率；

(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E．

〔2〕假设A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

解：〔1〕〔i〕，

(ii)随机变量的取值为0，1，2，3；

由n次独立重复试验概率公式，得

；

，

随机变量的分布列是

0

1

2

3

P

的数学期望是

〔2〕设袋子A中有m个球，那么袋子B中有2m个球由，得

例4某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

〔Ⅰ〕求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

〔Ⅱ〕求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.

解析：此题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等根底知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

〔Ⅰ〕设这名学生在上学路上到