二项分布、泊松分布及正态分布。.ppt

作业题：第63页1， 12 题 解 由定义 当 时, 当 时， 例1 求 。 当 时， 故 当 时， 当 时， 故 下面我们从图形上来看一看。 注意右连续 不难看出， 的图形是阶梯状的图形， 在 处有跳跃，其跃度分别等于 分布函数图 概率函数图 三、连续型随机变量及其概率密度 则称 为连续型随机变量， 为 的概率密度函数，简称概率密度。 由定义可知，连续型随机变量的分布函数是连续函数，是密度函数的可变上限的定积分. 定义 设 是随机变量 的分布函数，如果存在一非负函数 ，使对任意实数 有 由上式可得，在 的连续点， 概率密度函数的性质： 这两条性质是判定一个函数 是否为某连续型随机变量的概率密度函数的充要条件。 利用以上关系可以推得，随机变量 落入某有限区间 内的概率为 类似可得 取值落入 内的概率为： 它是以 为底，以曲线 为顶的曲边梯形的面积。 需要指出的是: 连续型随机变量取任一指定值的概率为0，即： 为任一指定值,这是因为： （1) 对连续型随机变量X ,有 由此得， （2) 由 可推知 而 并非不可能事件， 并非必然事件。可见， 由 不能推出 o 面积为1 由 不能推出 由于连续型随机变量唯一被它的密度函数所确定。所以，若已知密度函数，该连续型随机变量的规律就得到了全面描述. 下面给出几个随机变量的例子。 例2 若随机变量X取值在区间 上，并且取每一点的可能性是相同的，则称X服从区间 上的均匀分布，记作： 写出它的分布函数及概率密度函数。 由几何概率的定义容易得到 的分布函数为 从而概率密度为： 解 例3 若随机变量X具有概率密度 则称X 服从参数为 的指数分布。 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命. 常简记为： 容易看出： 且 所以 确是一概率密度。 解 (1)由指数分布的定义可得 例 4 对服从参数为0.015的指数分布的变量X,试计算: (1)X 取值大于100的概率; (2)若要求P(X x) 0.1,问x应在什么范围内? (2) 若要求 即 指数分布经常被用来近似描述各种“寿命”分布，如无线电元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，传呼台首次传呼来到的时刻，随机服务系统中的服务时间等都假定是服从指数分布的。 例5 设 求 。 解 由定义 由于 是分段表 达的，求 时 注意分段求. 即 例7 设随机变量X 的分布函数为 求X取值在区间(0.3,0.7)的概率及概率密度。 解: 要注意的是，密度函数 在某点 处的高度，并不反映X取值的概率。 但是这个高度越大，则X取 附近的值的概率就越大。 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度。 第四节 正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布。 在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成 男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。 一、正态分布的定义及图形特点 定义 若随机变量X的概率密度为 其中 和 都是常数， 任意， ，则称 X服从参数为 和 的正态分布。 可以证明 记作： 证明： 作变量代换 左边 正态分布 的图形： 化为极坐标 其中 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度。 其分布函数是： 二、标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. ,则 设 定理 根据定理,只要将标准正态分布的分布函数 制成表，就可以解决一般正态分布的概率问题。 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。 若 若 可证 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，X的取值几乎