备考2025高考数学一轮知识清单 平面向量及其应用（解析版）.docx

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专题09平面向量及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

知识点1向量的有关概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

2、零向量：长度为0的向量，记作.

3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行．

5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．

知识点2向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律：；

结合律：

减法

求与的相反向量的和的运算

数乘

求实数λ与向量的积的运算

，

当λ0时，与的方向相同；

当λ0时，与的方向相反；

当λ＝0时，

结合律：；

第一分配律：；

第二分配律：

知识点3向量共线定理与基本定理

1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.

2、三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。2

3、平面向量基本定理

（1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使

（2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

（3）对平面向量基本定理的理解

=1\*GB3①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．

=2\*GB3②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．

=3\*GB3③是同一平面内所有向量的一组基底，

则当与共线时，；当与共线时，；当时，．

=4\*GB3④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．

知识点4平面向量的数量积

1、向量的夹角

（1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角．

（2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°.

（3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直．

2、平面向量的数量积

（1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，

记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即.

（2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．

【注意】（1）数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的．

（2）在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围．

3、向量数量积的性质

设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：

（1）.

（2）.

（3），同向?；，反向?.

特别地或.

（4）若θ为，的夹角，则.

4、向量数量积的运算律

（1）(交换律)．

（2）(结合律)．

（3）(分配律)．

【注意】对于实数a，b，c有，但对于向量，，而言，不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为表示一个与c共线的向量，而表示一个与a共线的向量，而与不一定共线，所以不一定成立．

知识点5平面向量的坐标运算

1、向量线性运算坐标表示

（1）已知，则，．

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．

（2）若，则；

结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

2、向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是

3、向量数量积的坐标表示

已知非零向量，，与的夹角为θ.

结论

几何表示

坐标表示

模

夹角

的充要条件

与的关系

重难点01平面向量最值或范围问题

1、定义法：=1\*GB3①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；=2\*GB3②运用基本不等式求其最值问题；=3\*GB3③得出结论。

2、坐标法：=1\*GB3①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；=2\*GB3②将平面向量的运算坐标化；=3\*GB3③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。

3、基底法：=1\*GB3①利用基底转化向量；=2\*GB3②根据向量运算化简目标；=3\*GB3③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论；

4、几何意义法：=1\*GB3①结合条件进行向量关系推导；=2\*GB3②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；=3\*GB3③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。

类型1数量积的最值或范围

【典例1】（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满