矩阵理论 课件 第6章第4节矩阵的奇异值分解.ppt

故的列向量是标准正交的特征向量．同理可证,从而令，代入上式得故的列向量是标准正交的特征向量.例6.13求矩阵的奇异值分解．解因为,所以，因此，可计算的特征值为它们所对应的单位特征向量分别是又因为，所以可得的3个特征值分别为，且属于它们的单位特征向量分别是且它们是正交的.令则的奇异值分解为THANKYOU感谢观看**OfficePLUSOfficePLUSOfficePLUSOfficePLUSOfficePLUSOfficePLUS山东科技大学主讲人：刘洪霞矩阵的奇异值分解6.4从Beltrami(1873)和Jordan(1874)提出奇异值分解(SVD,Singularvaluedecomposition)至今，SVD及其推广已经成为矩阵计算最有用和最有效的工具之一，在最小二乘问题、最优化、统计分析、信号与图像处理、系统理论与控制、最佳逼近问题和实验数据处理等领域被广泛使用。定义6.7设，则阶Hermite矩阵是半正定的，因而特征值均为非负实数，可以表示为称其算术平方根为矩阵的奇异值．定理6.10设,则存在阶酉矩阵以及阶酉矩阵，使其中,且是矩阵的正奇异值．这时式（6-7）称为矩阵的奇异值分解式．证明由定理6.5，阶矩阵是半正定的Hermite矩阵,因而，不妨设的特征值为由定义令均为的奇异值，且满足由为半正定的Hermite矩阵，从而存在阶酉矩阵，使其中令，其中是列，则比较上式左右两边的矩阵，可得又因为所以令则即为阶矩阵且列向量是两两正交的单位向量，记为将其扩充成酉空间的一个标准正交基，令则是阶酉矩阵，且有，，故定理6.11设为阶非奇异矩阵，则存在阶酉矩阵及，使得（6-8）若将和分别写成，，则证明由非奇异，为阶正定的Hermite矩阵，故