矩阵理论 课件 第6章第2节矩阵的满秩分解.pptx

6.2矩阵的满秩分解

矩阵的满秩分解

矩阵的满秩分解就是将矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，这在后面的广义逆矩阵的问题中也非常重要.

任意一个m×n矩阵A,其秩为r,都可以经过有限次初等变换，化为它的等价标准形

即总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得

也即矩阵A可以分解为

矩阵的满秩分解

矩阵的满秩分解定义

定义6.2设A∈Cxn,rank(A)=r,若存在秩为r的矩阵F∈Cmxr,G∈C×n,

使得

A=FG

则称其为A的一个满秩分解.

注：(1)F为列满秩矩阵，即列数等于其秩；G为行满秩矩阵，即行数等于其秩.

(2)矩阵A的满秩分解不唯一，对任意r阶可逆方阵D,都有

A=FG=FDD-G=(FD)(D-G)=F₁G₁,

其中F₁∈Cm×r,G₁∈C×,且rank(F₁)=rank(G₁)=r.

矩阵的满秩分解

定理6.4任何非零矩阵A∈Cm×n都存在满秩分解.

证：设rank(A)=r,采用构造性证明方法.由矩阵的初等变换理论知，则存在m阶初等

矩阵E₁,E₂,…,Ek,使A化为阶梯形矩阵B,即

,rank(G)=r

其中G是行满秩

记P=E…E₂E₁,

则P可逆，于是A=P-¹B,P-¹=(F

个

并把P-¹写成下面的分块形式S),

个

其中，rank(F)=r,即F

A的一个满秩分解

r列m-r列，

行满秩矩阵G和可逆矩阵P可通过下面的初等变换求得：

其中，F为p-¹的前r列，G是矩阵A化为阶梯形矩阵中的非零行，进而得A=FG·

矩阵的满秩分解

定理的证明过程表明，可以使用矩阵的初等变换求解满秩分解，具体总结如下：

因为rank(A)=r,因此有可逆矩阵P,使得

从而

矩阵的满秩分解

例6.4求矩阵的满秩分解

矩阵的满秩分解

取P-¹的前两列构成F,则

求得

矩阵的满秩分解

矩阵行最简形求满秩分解

定理6.4虽然能够求出A的满秩分解，但需要求P-¹,进而得到F,而求逆矩阵有时是比较麻烦的，为此，介绍另一种满秩分解的方法.

设A∈Cm×n,rank(A)=r,则A有r个线性无关的列向量，不妨设前r个列向量线性

无关.于是后n-r个列向量均可以表示为前r个列向量线性组合.用分块矩阵表示就是

A=(F:A₂)=(F:FQ)(6-5)

其中F是A的前r个列向量构成的列满秩矩阵，Q是一个r×(n-r)阶矩阵，于是A=F(E,:Q)=FG(6-6)

其中，G=(E,,Q)是行满秩矩阵.

具体分解方法总结如下：

对A进行初等行变换化为行最简型矩阵再跟据G中单位矩阵E,对应的列，找

出矩阵A中对应列向量α;,a₂,…,a,令F=(a;,ai,…,a;),则F列满秩.则

A=FG就是的一个满秩分解.

矩阵的满秩分解

例6.5求矩阵的一个满秩分解

解

的前两列构成单位矩阵，因此A的前两列构成矩阵F,取

矩阵的满秩分解

故,G

因此A的满秩分解为

矩阵的满秩分解

利用矩阵的满秩分解处理一些矩阵问题时，有时会十分方

便.

例设A₁与A₂都是m×n矩阵，证明

rank(A₁+A₂)≤rankA+rankA₂·

证明如果A₁=0,或者A₂=0,则结论显然成立.如果A₁≠0且A₂≠0,设A₁与A₂的满秩分解分别为A₁=F₁G₁,

A₂=F₂G₂,则有

从而

rank(A₁+A₂)≤rank(F₁,F₂)≤rankF₁+rankF₂=rankA+rankA₂.

矩阵的满秩分解

行满秩矩阵或列满秩矩阵的性质

定理6.5设A∈Cm×n,rank(A)=r,则下列结论成立

(1)AA与AA都是半正定Hermite矩阵；

(2)rank(AA)=rank(AA)=rank(A)=r.

证明因为(AA)#=AA,