矩阵理论三矩阵的分解.ppt

特征值 与 之间有如下关系。 定理：设 ，那么 同时，我们称 为矩阵 的正奇异值，简称奇异值。 例 求下列矩阵的奇异值 解 （1）由于 显然 的特征值为5，0，0，所以 的奇异值为 （2）由于 显然 的特征值为 2，4，所以 的奇异值为 。 例2 证明：正规矩阵的奇异值为其非零特征值的模长。 定理 设 ， 是 的 个奇异值，那么存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 使得 其中， 且满足 。 证明： 由于 ，所以 的特征值为 因为 是一个Hermite阵，所以存在 阶酉矩阵 且满足 将酉矩阵 按列进行分块，记 其中 于是有 从而有 令 ，则有 选取 使得 是酉 矩阵，即有 即 的 个列是两两正交的单位向量。 另外，有 由上述式子可得 这里，要注意 。 我们称此定理为奇异值分解定理。称表达式 为矩阵 的奇异值分解式。 如何求此分解表达式？ 例 ：求下列矩阵的奇异值分解表达式 解 ： （1）容易计算 的特征值为5，0，0，所以 的奇异值为 。下面计算 的标准正交特征向量，解得分别与 5，0，0对应的三个标准正交特征向量 由这三个标准正交特征向量组成矩阵 ，所以有 令 ，其中 选取 ，使得 为酉矩阵。 于是可得奇异值分解式为 （2） 练习：求下面矩阵的奇异值分解式 使得 且这样的分解式是唯一的。同时有 称分解式 为矩阵 的极分解表达式。 定理： 设 ，那么必存在酉矩阵 与正定的H-矩阵 4. 矩阵的极分解 与半正定H-矩阵 使得 且满足 证明：根据矩阵的奇异值分解定理可知， 存在酉矩阵 使得 定理：设 ，则存在 其中 ， 为 的 个奇异值。 于是有 如果令 从而有 其中 是半正定的H-矩阵， 是 酉矩阵。 由上面的结论可以给出正规矩阵的另外一种刻划。 定理：设 ，则 是正规矩阵的充分必要条件是 其中 是半正定的H-矩阵， 是酉矩阵，且 5. 矩阵的谱分解 我们主要讨论两种矩阵的谱分解：正规矩阵与可对角化矩阵。 设 为正规矩阵，那么存在 使得 其中 是矩阵 的特征值 所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵 的谱分解表达式。 北京理工大学高数教研室* 第一章 第一节 函数 第三章 矩阵的分解 本章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩阵的三角分解，满秩分解，奇异值分解，极分解，谱分解。 矩阵的三角分解 一. 方阵的三角分解 定理1 设 ，那么 可唯一地分解为