高二数学人教A版必修5教学课件112余弦定理3.ppt

余弦定理1、向量的数量积：2、勾股定理：AaBCbc

AaBCbc余弦定理AcbAbc当时当时当时AB边的大小与BC、AC边的大小和角C的大小有什么关系呢？怎样用它们表示AB呢？

思考题：若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.ABCabc解：

余弦定理定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

余弦定理ABCabcD当角C为锐角时证明：过A作ADCB交CB于D在Rt中在中

余弦定理当角C为钝角时证明：过A作ADCB交BC的延长线于D在Rt中在中bAacCBD

余弦定理bAacCB证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：

例1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°,∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinAa()

例2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinCc∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()

ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.

例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.ABCOxy解法二：∴A≈84°.∴cosA＝＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).

例4.已知四边形ABCD的四边长为AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.

练习ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；14.6°（2）a=2,b=3,c=4,则C=______.（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.

余弦定理课堂小结：1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

余弦定理布置作业：第10页2，4题