【数学】 余弦定理 课件(人教A版必修).ppt

* 1.1.2 余弦定理 第一章 解三角形 一、复习回顾 1.正弦定理及其推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） B C A a b c 思考： 在△ABC中,已知AB=2,BC=5,△ABC的面积为4， ∠ABC=θ，则sinθ= . 练习：在△ABC中， ，求此三角形的面积． 2.利用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角 步骤：利用三角形内角和先求第三角，再用正弦定理求另外两边. 题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角 一、复习回顾 若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下： （1）先利用 求出sinB，从而求出角B； （2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)； （3）再利用 求出边c. 注意：求角B时应注意检验！ A B C c a b 依条件可知， 同理可得 二、新课讲解 问题：在△ABC中，a=8，b=3，C=60o，求c. 如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为C，试求AB边的长c. 题型三:已知三角形的两条边及其夹角,求出另一边。 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 余弦定理： 注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边 二、新课讲解 例3 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a2=b2+c2-2bccosA =602+342-2×60×34×cos41o≈1676.82 ∴a≈41(cm) 故由正弦定理可得 ∵ca， ∴ CA,故C是锐角 ∴利用计算器可求得 C≈33° ∴B=180o-(A+C) ≈ 180o-(41o+33o)=106° 故由余弦定理可得 三、例题讲解 一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角时，应先求最小的边所对的角. ∴利用计算器可求得 C≈33° ∴B=180o-(A+C) ≈ 180o-(41o+33o)=106° 余弦定理的推论： 注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出相应的三个角 二、新课讲解 例4 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm， c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。 解： ∴A≈56°20′ ∴B≈32°53′ 三、例题讲解 利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角； （2）已知三边，求三个角. 练习：在△ABC中 （1）已知a= ，c=2，B=150o，求b； （2）已知a=2，b= ，c= ，求A. 7 45o 二、新课讲解 余弦定理及其推论： 已知条件 定理选用 一般解法 一边和二角 (如a,B,C) 正弦定理 由A+B+C=180°求角A,由正弦定理求出b与c 两边和夹角 (如a,b,C) 余弦定理 由余弦定理求出第三边c，再由正弦定理求出剩下的角 两边和其中一边的对角 (如a,b,A) 正弦定理 由正弦定理求出角B,再求角C,最后求出 c边.可有两解,一解或无解. 三边(a,b,c) 余弦定理 先由余弦定理求出其中两个角,再利用内角和为180°求出第三个角. 解三角形的四种基本类型： 例5.已知△ABC的三条边长的比为1：2： ，求该 三角形的最大内角. 解：依题意可设该三角形三条边分别为 则角C为最大内角 ∴C=120o 三、例题讲解 又∵0oC180o 变式.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=1:2: ，求该三角形的最大内角. 120o 例6.已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c. 解：由余弦定理得 三、例题讲解 余弦定理： 练习.已知在△ABC中，a=1，b= ，B=60o，求c。 3 （1）若A为直角，则a2 = b2+c2 （2）若A为锐角，则a2 b2+c2 （3）若A为钝角，则a2 b2+c2 由a2=b2+c2－2bccosA可得 利用余弦定理可判断三角形的形状. 二、新课讲解 钝角三角形 2.在锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x，试求x的取值范围. 变式：若该三角形是钝角三角形呢？