信号与系统--离散系统的复频域分析.pptx

6.5离散系统的复频域分析;

当x(n)是因果序列，已知初始(边界)条件y(-1)、y(-2)、…、y(-N)时，可利用z变换求解式(6.5-1)，对式(6.5-1)等式两边取z变换，利用单边z变换的位移性，得到

式中，y(l)是初始条件。;

1.零状态响应

零状态响应是仅由激励引起的响应。当激励x(n)是因果序列时，并且系统初始条件为零(y(l)=0，-N≤l≤-1)，则式(6.5-2)为;;

例6.5-1已知一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n)，求y(n)。其中x(n)=anu(n)，y(-1)=0。

解因为y(-1)=0，是零状态响应。对方程两边取z变换;

2.零输入响应

零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应，与初始(边界)条件y(-1)、y(-2)、…、y(-N)密切相关。此时激励x(n)=0，式(6.5-1)差分方程右边等于零，式(6.5-2)变为;

其中，y(l)为系统的初始(边界)条件，-N≤l≤-1，则;

例6.5-2差分方程同例6.5-1，x(n)=0，y(-1)=-1/b，求y(n)。

解激励x(n)=0，是零输入响应。对方程两边取z变换;

3.全响应

利用z变换，不需要分别求零状态响应与零输入响应，可以直接求解差分方程的全响应。;

例6.5-3系统差分方程、激励x(n)同例6.5-1，y(0)=0，求y(n)。

解先求出边界条件y(-1)，将n=0代入原方程迭代;

例6.5-4已知某离散系统模拟如图6.5-1所示，求系统函数H(z)及冲激响应h(n)。

解;;

6.5.2z变换与拉普拉斯(傅里叶)变换的关系

要讨论z变换与拉氏变换的关系，首先要研究z平面与s平面的映射(变换)关系。在6.1节中我们将连续信号的拉氏变换与采样序列的z变换联系起来，引进了复变量z，它与复变量s有以下的映射关系

或

式中，T是采样间隔，对应的采样频率ωs=2π/T。;

为了更清楚地说明式(6.5-12)的映射关系，将s=σ+jω代入式(6.5-12)，得

其中

式中，θ是数字域频率，由式(6.5-13)具体讨论s与z平面的映射关系。;

(1)s平面的虚轴(σ=0)映射到z平面的单位圆ejθ，s平面左半平面(σ0)映射到z平面单位圆内(r=eσT1)；s平面右半平面(σ0)映射到z平面单位圆外(r=eσT1)。

(2)ω=0时，θ=0，s平面的实轴映射到z平面上的正实轴。s平面的原点s=0映射到z平面单位圆z=1的点。

;

;

由以上s~z平面的映射关系，再利用理想采样作为桥梁，可以得到连续信号x(t)的拉氏变换X(s)与采样序列z变换的关系为

傅氏变换是双边拉氏变换在虚轴(σ=0，s=jω)上的特例，当σ=0，s=jω映射为z=ejθ是z平面的单位圆。将此关系代入式(6.5-14)，可以得到z变换与傅氏变换关系;

如图6.5-3所示。