第2章 时域离散信号和系统的频域分析(精编).ppt

第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.6.4 已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性。 解： N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.6.5所示。 当ω从零变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。一般将具有如图2.6.5所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。 2.6.2 系统的因果性和稳定性 因果系统的充分必要条件:当n0时，h(n)=0 即：因果系统的系统函数的Z变换，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 Z变换在z=∞处收敛是因果序列的特征。 在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点。 Rx-|z|≤∞ 系统稳定的充要条件： 由Z变换收敛域的定义： 如果系统稳定，则系统函数H(z)的收敛域一定包括单位圆。（|z|=1，在单位圆上收敛） 很显然，这就等于要求该系统函数的全部极点都在单位圆内，即H(ejω)存在且连续。 Rx-|z|≤∞ 因果系统： 一个因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆内到∞的整个z域内收敛，即 r|z|≤∞， 0r1 例2.6.1已知 分析其因果性和稳定性. 也就是说，系统函数的全部极点要落在单位圆内。 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1 零点z=0 × × a a-1 Im[z] Re[z] (1)收敛域a-1|z|≤∞，对应的 系统是因果系统，但由于 收敛域不包含单位圆，因 此是因果不稳定系统。 (2)收敛域0≤|z|＜a,收敛域不包括单位圆，对应的系统 是非因果不稳定系统。 × × a a-1 Im[z] Re[z] (3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统， 但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。 (4)H(z)对应的三种系统中，前两种系统不稳定，第三种 稳定但非因果，因此，严格的说，这三种系统都不能 具体实现。但利用数字系统的存贮性，第三种系统可 近似实现。 2.6.3 系统的频率响应 1、频率响应的意义 设输入信号为： 系统输出： 它描述复指数序列（正弦序列）通过线性时不变系统后，复振幅（包括幅度和相位）的变化。 即：系统频率响应正是系统函数在单位圆上的值。或：系统频率响应是系统的单位取样响应的傅里叶变换。 称为系统的频率响应 2、系统频率响应的特点 (1) H(ejω)是ω的连续函数； (2) H(ejω)是以2π为周期的ω的周期函数； (3) h(n)为实序列时，H(ejω)的幅值为偶对称的，相位为奇对称的(在0≤ω≤2π区间) 系统的单位取样响应与系统的频率响应，互为傅里叶变换对 3、系统频率响应的几何确定法 设系统稳定，H(z)收敛域包含单位圆，将z=ejω代入 令： 0 Re[z] Im[z] × ψ θ 频响的幅度函数 频响的相位函数 例：已知离散系统的系统函数为 求系统的频率响应，粗略画出系统的幅频响应和相频响应曲线。 解： 0 Re[z] Im[z] × 令： 0 Re[z] Im[z] 1 × π 0 2π 4 B A 高通滤波器 例2.6.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性 解：由H(z)=z-1，极点为z=0，H(ejω)=e-jω  幅度特性|H(ejω)|=1,相位特性φ(ω)=-ω 原点处的零极点不影响系统的频率特性。 |H(e jω)| ω 1 0 0 ω jφ(ω) （1）原点处的极点和零点对于频率响应的幅度并无影响，它们只是在相位中引入一个线性分量。 （2）极点主要影响频响的峰值，极点越靠近单位圆，峰值就越尖锐，当极点处于单位圆上，该点的频响就出现∞，这相当于该频率处出现无耗谐振。 （3）零点主要影响频响的谷值，零点越靠近单位圆，谷值越小，当处于单位圆上时，幅度为0。 结论 2.5.4 Z变换的性质 1、线性 若 则 定义域：一般情况下，取二者的重叠部分 某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。 eg . 求x(n)=cos(ω0n)u(n)的Z变换。 解： 2、移位特性 式中，m为正整数 零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。 3、尺度变换特性 若ZT[x(n)]=X(z)，Rx-|z|Rx+ 则：ZT[anx(n)]=X(a-1z)，|a|Rx-|z||a|Rx+ 4、X(z)的微分性质 若：ZT[x(n)]=X(z)，Rx-|z|Rx+ 则：  上式表明：序列x(n)的Z变换的导数乘以-z等于x(n)经线性加权后的z变换，收敛域不变。