时域离散信号和系统的频域分析.ppt
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第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引言
2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式
2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系
2.5 序列的Z变换
2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性
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2.1 引言
我们知道信号和系统的分析方法有两种, 即时域分析方法和频率分析方法。
在模拟领域中,
信号一般用连续变量时间t的函数表示,系统则用微分方程描述。
为了在频率域进行分析, 用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。
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“不怕太阳晒,也不怕那风雨狂,只怕先生骂我笨,没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照,花儿对我笑,小鸟说早早早……”
时域离散信号和系统中,
信号用序列表示, 其自变量仅取整数, 非整数时无定义, 而系统则用差分方程描述。
频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换, 它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的, 但都是线性变换, 很多性质是类似的。
本章学习序列的傅里叶变换和Z变换, 以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。 本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。
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Fourier变换的几种可能形式
连续时间、连续频率—傅里叶变换
连续时间、离散频率—傅里叶级数
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
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连续时间、连续频率—傅里叶变换
时域连续函数造成频域是非周期的谱,
而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
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连续时间、离散频率—傅里叶级数
时域连续函数造成频域是非周期的谱,而频域的离散对应时域是周期函数。
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离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
时域的离散化造成频域的周期延拓,而时域的非周期对应于频域的连续
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离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
一个域的离散造成另一个域的周期延拓,因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的
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四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
频率函数
连续和非周期
非周期和连续
连续和周期(T0)
非周期和离散(Ω0=2π/T0)
离散(T)和非周期
周期(Ωs=2π/T)和连续
离散(T)和周期(T0)
周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
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2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质
2.2.1 序列傅里叶变换的定义
定义
(2.2.1)
为序列x(n)的傅里叶变换, 可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件, 即满足下式:
(2.2.2)
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为求FT的反变换, 用e jωn乘(2.2.1)式两边, 并在
-π~π内对ω进行积分, 得到
(2.2.3)
(2.2.4)
式中
因此
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上式即是FT的逆变换。 (2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。
(2.2.2)式是FT存在的充分必要条件, 如果引入冲激函数, 一些绝对不可和的序列, 例如周期序列, 其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来, 这部分内容在下面介绍。
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例 2.2.1 设x(n)=RN(n), 求x(n)的FT
解:
(2.2.5)
设N=4, 幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。
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图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
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2.2.2 序列傅里叶变换的性质
1、FT的周期性
在定义(2.2.1)式中, n取整数, 因此下式成立
M为整数 (2.2.6)
因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数, 周期是2π。 这样X(ejω)可以展成傅里叶级数, 其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式, x(n)是其系数。
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图 2.2.2 cosωn的波形
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2. 线性
那么
设
式中a, b为常数
3. 时移与频移
设X(e jω)=FT[x(n)], 那
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