数学微积分知识点习题集及解答汇总.docx

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①

姓名所在地区

姓名所在地区身份证号

密封线

注意事项

1.请首先在试卷的标封处填写您的姓名，身份证号和所在地区名称。

2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写您的答案。

3.不要在试卷上乱涂乱画，不要在标封区内填写无关内容。

一、函数极限

1.函数极限的定义及性质

题目1：已知函数$f(x)=x^23x2$，求$\lim_{{x\to2}}f(x)$。

题目2：若函数$f(x)$在$x\toa$时连续，证明$\lim_{{x\toa}}f(x)=f(a)$。

2.两个重要极限

题目3：求$\lim_{{x\to0}}\frac{\sinx}{x}$。

题目4：求$\lim_{{x\to\infty}}\left(1\frac{1}{x}\right)^x$。

3.无穷小量与无穷大量

题目5：判断$\frac{1}{x^2}$和$\frac{1}{x}$在$x\to0$时哪个是无穷小量。

题目6：若$\lim_{{x\to\infty}}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$，证明存在常数$M$，使得当$xM$时，$f(x)g(x)$。

4.极限的运算法则

题目7：计算$\lim_{{x\to0}}\left[3x^22x1\right]$。

题目8：若$\lim_{{x\toa}}f(x)=L$，$\lim_{{x\toa}}g(x)=M$，证明$\lim_{{x\toa}}[f(x)g(x)]=LM$。

5.极限存在准则

题目9：若函数$f(x)$在$(a,b)$内连续，在$(a,b)$的任意闭区间上可积，证明$\lim_{{x\toa^}}f(x)$存在。

题目10：若函数$f(x)$在$(a,b)$内可导，证明$\lim_{{x\toa^}}f(x)$存在。

6.极限的夹逼准则

题目11：证明$\lim_{{x\to0}}\frac{\sinx}{x}=1$。

题目12：若$f(x)\leqg(x)\leqh(x)$，且$\lim_{{x\toc}}f(x)=\lim_{{x\toc}}h(x)=L$，证明$\lim_{{x\toc}}g(x)=L$。

7.极限的四则运算法则

题目13：计算$\lim_{{x\to0}}\left[\frac{x^21}{x1}\frac{x^21}{x1}\right]$。

题目14：若$\lim_{{x\toa}}f(x)=L$，$\lim_{{x\toa}}g(x)=M$，证明$\lim_{{x\toa}}[f(x)\cdotg(x)]=L\cdotM$。

8.极限的复合函数法则

题目15：求$\lim_{{x\to0}}\left[f(x^2)\right]$，其中$f(x)=\frac{\sinx}{x}$。

题目16：若$\lim_{{x\toa}}f(x)=L$，$\lim_{{x\tob}}g(x)=M$，证明$\lim_{{x\tob}}f(g(x))=L$，其中$b$是$a$的函数。

答案及解题思路：

答案1：$\lim_{{x\to2}}f(x)=2^23\cdot22=0$。

解题思路：直接代入$x=2$计算函数值。

答案2：由连续性的定义，$f(a)$存在，且$f(x)$在$x\toa$时极限存在，故极限值为$f(a)$。

答案3：$\lim_{{x\to0}}\frac{\sinx}{x}=1$。

解题思路：利用洛必达法则或者泰勒展开。

答案4：$\lim_{{x\to\infty}}\left(1\frac{1}{x}\right)^x=e$。

解题思路：利用指数函数的定义和性质。

答案5：$\frac{1}{x^2}$是无穷小量，$\frac{1}{x}$不是无穷小量。

解题思路：无穷小量的定义，$\lim_{{x\to0}}\frac{1}{x^2}=\infty$。

答案6：由无穷大量的定义，存在$M$使得