2024_2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数习题课指数函数及其性质的应用练习含解析新人教B版必修第二册.docx
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习题课指数函数及其性质的应用
必备学问基础练
1.已知函数f(x)=ax(a0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图像大致是()
答案B
解析函数f(x)=ax(a0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),由于指数函数是单调函数,则有a1.由底数大于1知指数函数的图像上升,且在x轴上方,可知B正确.
2.函数f(x)=的单调递增区间为()
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
答案A
解析令u(x)=x2-1,∵f(x)=,01,
∴f(x)的单调递增区间为u(x)=x2-1的单调递减区间,即(-∞,0).
3.(多选题)(2024江苏南京师大附中高一期中)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是()
A.2 B. C.3 D.
答案AB
解析当a1时,指数函数y=ax单调递增,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=.所以a+=5,求得a=2或a=(舍);
当0a1时,指数函数y=ax单调递减,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=,ymin=a,所以a+=5,求得a=2(舍)或a=.
综上所述,a=2或a=.
4.设函数f(x)=,则函数f的定义域为()
A.(-∞,4] B.-∞,
C.(0,4] D.0,
答案A
解析因为f(x)=,所以f=,因为4-≥0,即≤4,所以≤1,x≤4,所以f的定义域为(-∞,4].
5.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f=2,则不等式f(2x)2的解集为.?
答案(-1,+∞)
解析∵f(x)是偶函数,且f=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.由f(2x)2,得2x,即2x2-1,∴x-1,即不等式f(2x)2的解集是(-1,+∞).
6.已知a0且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a=.?
答案
解析若a1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上单调递增,
当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10,即a2=7,
又a1,所以a=.
若0a1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上单调递减,
当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,所以a=.
综上所述,a的值为.
7.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)30;
(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.
解设2x=t(t0),则y=t2-2a·t-a,
(1)当a=2时,f(x)30?y=t2-4t-320,
∴t-4或t8.
∵t0,∴t8,∴2x8,∴x3,
∴不等式的解集为{x|x3}.
(2)由题意得,当x∈(-1,1)时,必有函数图像的对称轴t0=2a-1∈,即0a2,
故函数的最小值为m==-2,
∴a+22a-2=2,由于关于a的函数y=a+22a-2单调递增,故最多有一个实根,而当a=1时,a+22a-2=2,∴a的值为1.
关键实力提升练
8.设函数f(x)=若f(a)1,则实数a的取值范围是()
A.(-3,1)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-∞,-3)
D.(1,+∞)
答案A
解析当a0时,-71?8?2-a23?-a3?a-3,∴-3a0.当a≥0时,1?a1,∴0≤a1.综上,-3a1.故选A.
9.(多选题)已知函数f(x)=2-x-2x.下列四个结论中正确的是()
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
D.对随意的实数a,方程f(x)-a=0都有解
答案ABD
解析f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;f(x)的定义域为R,f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;f(x)=-2x在R上是减函数,C错误;由于x→-∞时,f(x)→+∞;x→+∞时,f(x)→-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),它又是R上的减函数,因此对随意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.
10.设偶函数f(x)满意f(x)=2x-4(x≥0),则当x0时,f(x)=;当x∈R时,不等式f(x-2)0的解集为.?
答案2-x-4{x|x0或x4}
解析设x0,则-x0,
∴f(-x)=2-x-4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
于是f(x-2)0可化为解得x4或x0.
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调