2024年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数5_7增长速度的比较函数的应用二数学建模活动：生长规律的描述学案新人教B版必修第二册.docx
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增长速度的比较函数的应用(二)数学建模活动：生长规律的描述
最新课程标准
驾驭指数函数、对数函数、幂函数的增长速度，结合实例理解用函数构建数学模型的基本过程，学会用模型思想发觉和提出问题，分析和解决问题的方法．
新知初探·自主学习——突出基础性
学问点一常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
2．指数函数模型
能利用__________表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型
能用____________表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是____________，函数值增长速度________．
4．幂函数模型
幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
状元随笔函数模型的选取
(1)当描述增长速度改变很快时，经常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，经常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)则可以描述增长幅度不同的改变，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
学问点二数学建模
1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，建立相应的数学模型．
3．解模：求解数学模型，得出数学结论．
4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
状元随笔
基础自测
1.下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()
A．y＝1100exB．y＝100ln
C．y＝x100D．y＝100·2x
2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，改变的状况是()
A．削减7.84%B．增加7.84%
C．削减9.5%D．不增不减
3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()
A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b
4．计算机的价格大约每3年下降23
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1几类函数模型的增长差异[经典例题]
例1(1)下列函数中，增长速度最快的是()
A．y＝2024xB．y＝x2024
C．y＝log2024xD．y＝2024x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x改变的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数改变的变量是________．
【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数改变．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2起先改变，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数改变．
【答案】(1)A(2)y2
状元随笔
(1)由题意，指数函数增长速度最快．
(2)
跟踪训练1分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长状况．
状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可视察出函数的增长改变状况．如图：
题型2指数、对数函数模型[教材P42例2]
例2依据《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2024年，全国二氧化硫排放总量要限制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨．
(1)求f(t)的解析式；
(2)求2024年全国二氧化硫排放总量要限制在多少万吨以内(精确到1万吨)．
教材反思
应用指数函数模型应留意的问题
(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的推断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通