数学高考导数难题导数零点问题导数整理.pdf

含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 （1）因式分解求零点 1 3 1 2 例 1 讨论函数 ) 2 1( ) f (x) ax (a x x a R 的单调区间 3 2 2 解析：即求 f (x ) 的符号问题。由 f (x ) ax (2a 1)x 2 (ax 1)(x 2) 可以因式分 方法二：猜出特值，证明唯一 对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再 证明该函数的单调性而验证其唯一性。 x 1 3 1 2 例 4 讨论函数 f (x) (x a 1)e x (a 1)x ax ， a R ，的极值情况 3 2 解析： ( ) ( ) x 2 ( 1) ( )( x 1) ，只能解出 f (x) 的一个零点为 a , 其它的零点就 f x x a e x a x a x a e x 是 ex x 1 0 的根，不能解。 例 5 （2011 高考浙江理科）设函数 f (x) (x a)2 ln x,a R （Ⅰ）若 x e为 y f (x) 的极值点，求实数 a 2 （Ⅱ）求实数 a 的取值范围，使得对任意的 x (0,3e], 恒有 f ( x) 4e 成立（注： e 为自然对数） ， 方法三：锁定区间，设而不求 对于例 5，也可以直接设函数来求， 2 ① 当 0 x 1 时 ， 对 于 任 意 的 实 数 a , 恒 有 f (x ) 0 4e 成 立 ② 当 1 x 3e ， 由 题 意 ， 首 先 有 2 2 2e 2e a f (3e) (3e a ）ln(3e) 4e , 解得 3e a 3e 由 f (x) (x a )(2ln x 1 ) ，但这时 ln(3e) ln(3e) x a 会发现 f (x) 0 的解除了 x a 外还有 2 ln x 1 =0 的解，显然无法用特殊值猜出。 x a 令 ( ) 2ln 1 h x x ，注意到 h(1) 1 a 0 ， h(a)