高考数学重难点复习专练：导数解答题之零点问题 八大题型（解析版）.pdf

重难点专题11导数解答题之零点问题八大题型汇总

题型1一个零点问题1

题型2两个零点问题10

题型3三个零点问题17

题型4判断零点个数25

题型5最值函数的零点问题36

题型6同构法解零点问题46

题型7零点差问题54

题型8割线法切线法与零点66

题型1一个零点问题

【例题1](202秋・重庆•高三校联考阶段练习)已函数f(x)=aln%-5(aeR).

⑴讨论/(%)的单调性;

(2)若函数g(x)=f(x)+日在区间(1,+8)上恰有一个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)(1〈—e

【分析】(1)讨论参数a,利用导数研究函数单调性；

xz

(2)问题化为axlnx-e+=。在(1,+8)上仅有一个解,构造@(x)=axlnx-e+,

ee

利用导数研究其在(1,+8)的单调性，结合零点存在性判断区间零点个数，即可求参数范围.

【详解】(1)由广(%)=(+善=用三S.XG(0,+00),

当a20,则广(盼。,此时/⑶在(。,+8)上递增；

当a0,贝!|0x—寸，/(X)0,即f(x)在(0,—$上递增；

x-釉尸(x)0,即/x)在(一:+8)上递减;

综上，a0,/(%)在(0,+8)上递增；

a0,f。)在(0,—$上递增,在(一2+8)上递减.

(2)由题设9(久)=a\nx-^+^=。在(1,+8)上仅有一个解，

x

所以axlnx-e+=。在(1,+8)上仅有一个解，

e

xx

令？(%)=ax\nx—e+e贝!1。(%)=a(lnx+1)+e,

z

当aNO时，。(%)0恒成立，此时9(%)递增，且(%)9(1)=0,

所以0(%)=0在(L+8)上无解；

当a0时，令6(%)=。(%)=alnx+e*+Q,贝!J巾(%)=二,

Xx

令九(%)=a+%e/则(%)=(%+l)e0,即%(%)递增，则%(%)九⑴=a+e,

i.当一ewavo时,h(x)0,即巾%)0恒成立,即加(%)=。(%)递增，

所以。(%)e⑴=e+a0,故8(%)递增，此时◎(%)=。在(1,+8)上无解;

ii.当a—e时，h(l)=a+e0,%趋向正无穷时h(%)趋向正无穷，贝归％oe(L+8)使九(0

)=0,

(1,g)上MX)v0,即a(%)vo,6(%)递减；

(g,+oo)±h(x)0,即力口)0,巾(%)递增；

由巾(1)=e+a0%趋向正无穷时6(%)趋向正无穷，

z

所以巾(%)在(L%o)恒负，在(刈+8)上存在一个零点%1,

故(L%i)上6(%)=。(%)v0,?(%)递减;

01，+8)上巾(%)=(px)0,0(%)递增；

由于0(1)=0,%趋向正无穷时0(%)趋向正无穷，

所以0(%)在上恒负，(%1，+8)上仅有一个零点，此时满足题设；

综上，a-e.

【点睛】关