第12届周培源大学生力学竞赛试题及答案_unlocked.docx

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第十二届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题

出题学校：清华大学

（本试卷分为基础题和提高题两部分满分120分时间3小时30分）

说明：个人赛奖项分为全国特、一、二、三等奖和优秀奖。全国特、一、二等奖评选标准是：提高题得分进入全国前5%，并且总得分排在全国前列，根据总得分名次最终确定获奖人。全国三等奖和优秀奖直接按赛区内总得分排名确定获奖人。

注意：试题请全部在答题纸上作答，否则作答无效。各题所得结果用分数或小数表示均可。

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第一部分基础题部分（共60分）

第1题(30分)

图示铅垂平面内的系统，T形杆质量为m1，对质心C的转动惯量为J1；圆

盘半径为R，质量为m2，对质心O的转动惯量为J2；杆和盘光滑铰接于点O，

CO=s。设重力加速度为g、地面和盘间的静摩擦因数为μ0、动摩擦因数为μ,不计滚动摩阻。

(1)如图(a)，盘以匀角速度①沿水平地面向右作纯滚动。为使杆保持与铅垂方向夹角θ（0≤θπ/2）不变，需在杆上施加多大的力偶矩M1？并求此时地面作用于盘的摩擦力F；(5分)

(2)如图(b)，当盘上施加顺时针的常力偶矩M2，同时M1=0，杆作平移，分析圆盘的可能运动，并求杆与铅垂方向夹角β、盘的角加速度ε及地面对盘的摩擦力F。(25分)

o

oC

RO

ts

①

M1

β

M2

oC

RO

ts

M1θ

M1θ

(a)(b)

第1题图

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第2题（30分）

如图所示宽为b的矩形截面三层复合梁，各层固结为一体；已知各层材料弹性模量分别为E1、E2和E3，相应的厚度分别为h1、h2和h3，其中E1=E3=E2/5=，h1=h2=h3/50=h。对其进行四点弯曲试验。

（1）试求中性层的位置；（15分）

（2）设弯曲后BC段中性层曲率半径为p，试写出该段横截面上的正应力与p的关系，画出正应力的分布图；（9分）

（3）当层2断裂时，层1和层3仍为线弹性变形，BC段梁上缘的曲率半径为R，由此计算层2材料的强度极限σb。（6分）

第2题图

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第二部分提高题部分（共60分）

第3题(30分)

在真空中处于失重状态的均质球形刚体，其半径r=1m，质量M=2.5kg，对直径的转动惯量J=1kg.m2，球体固连坐标系Oxyz如图所示。另有质量m=1kg的质点A在内力驱动下沿球体大圆上的光滑无质量管道（位于Oxy平面内）以相对速度vr=1m/s运动。初始时，系统质心速度为零，质点A在x轴上。

(1)试判断系统自由度；(3分)

(2)当球体初始角速度①x0=0；①y0=0；①z0=1/s时，求球心O的绝对速度vO，球体的角速度沿z轴分量①z，质点A的绝对速度vA和绝对加速度aA；(17分)

(3)当球体初始角速度①x0=1/s；①y0=0；①z0=0.4/s时，求球体的角速度①和角加速度ε。【提示：建立另一个动系Ox′y′z′，使质点A始终在x′轴上】(10分)

第3题图

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第4题（20分）

如图（a）所示，截面初始半径为R、密度为P的圆柱体AB（材料不可压缩）竖直悬挂，在重力作用下（重力加速度为g）变形。

（1）截面C变形前距A端为x，试求悬挂后该截面轴力；（3分）

（2）设变形后轴力与变形的关系为F=πr2G(λ2-λr2)，其中G为剪切模量，λ和λr为轴向和径向的伸长比（伸长比定义如图（b）所示）。试根据题设推导λ和λr之间的关系，并建立变形后截面半径r随初始截面位置x的变化关系；（10分）

（3）若将变形后AC段（测得其长度为x）近似为圆台，试求材料的剪切模量G。（7分）

（a）

（b）

第4题图

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第5题（10分）

如图（a）所示，弹性软基体中有一细长等截面梁，弯曲刚度EI。梁受轴向压缩。

（1）若将弹性基体等效为分布弹簧，其刚度为K（弹性基体对梁单