第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案.docx
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第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
一、看似简单的小试验（30分）
（1）小球P1不可能直接击中A点，证明见详细解答。
（2）小球P2与圆盘开始分离时的角度?=arcsin≈47°。
（3）碰撞结束后瞬时小球P3与半圆盘的动能之比为5：4。
二、组合变形的圆柱体（20分）（1）
（2）在柱B端同时施加的轴向拉伸应力不产生屈服。
（3）圆柱体的体积改变量ΔV=στD2L(1?2ν)/E。
三、顶部增强的悬臂梁（30分）
（1）组合截面中性轴的位置：yC=0.592h1；（形心为zC=0，yC=0.592h1）。
（2）使梁B端下表面刚好接触C台面所需的竖向力为FP=0.4E1bhΔ/L3。
（3）不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为F=0.28E1bh12Δ/L2。
（4）梁的剪应力为τ=E1Δ(y?y2)/L3，沿梁截面高度的分布图见详细解答。
四、令人惊讶的魔术师（20分）
（1）力学原理：沿不同方向推动木条时，需要的推力大小不同，木条运动的方式也不同：沿AB推，推力F1最大，木条平动；垂直AB在不同位置推动木条，木条绕不同的点转动，且推力F2的大小、转动位置均与推力位置有关。
（2）根据滚动小球的号码信息，推力位置位于[num,num+1]号小球之间，且
取整。（注意Q=N,orN?1,orN+1均算正确）。
（3）设F2/F1=η,η∈[0,0.414)不可能出现。当η∈[0.414,0.828)时，观众如果故意把F2错报为F2，一定会被魔术师发现。若η∈[0.828,1]时，观众故意报错不会被发现。
五、对称破缺的太极图（20分）
（1）Ix=Iz=Ix=Iz成立，见详细解答。
（2）在x=?r,z=0处粘上质量为m的配重，图形就可以在空中绕Z轴稳定地转动。
详细解答及评分标准
总体原则：
（1）计算题的某一小问，只要最后结果正确且有适当的步骤，就给全分。
（2）如结果不正确，则参考具体的评分标准。
（3）如结果不正确且方法与参考答案不一样，各地自行统一酌情给分。
（4）证明题需要看过程。
一、看似简单的小试验（30分）
结论3分【解】：（1）小球出手后开始作抛物线运动，可以证明，在题目所给条件下，小球击中A点之前，一定会和圆盘边缘上其它点碰撞，即小球不可能直接击中
结论3分
证明
证明方法不限。
结论错误，0分；
结论正确且能够证明，3分；结论正确但证明不完善，1分。
圆盘的边界轨迹为x2+y2=r2，在A点右边的x=?r+Δx处（设Δx为一阶小量），圆盘的高度为(?r+Δx)2+y12=r2，y12=2rΔx?Δx2，略去高阶小量，即y1~Δx0.5；
小球的抛物线轨迹方程一定可以写为y=?a(x?b)2+c的形式（a、b、c与初始条件有关且均为正值）。在x=?r+Δx处，抛物线的高为y2=?a(?r+Δx?b)2+c。假设抛物线过A点，则有0=?a(?r?b)2+c。因此有y2=2a(r+b)Δx?aΔx2，略去高阶小量，即y2~Δx。
即在A点之前（x=?r+Δx处），抛物线的高度是1阶小量，而圆盘的高是0.5阶小量，所以圆盘比抛物线高。因此小球在击中A点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞，不可能直接击中A点。
（2）建立惯性坐标系与初始时刻的Oxy重合。
可以用不同的方法求解。系统水平方向动量守恒
1分（1－1
1分
2
3
系统机械能守恒
1分（1－2
1分
拆开系统，对小球由水平方向质心运动定理
1分m=?Ncos?（1－3
1分
得到速度或角速度，1分由（1－1
得到速度或角速度，1分
x.=?r?.sin?,（1－4）
对（1－4）中的速度和角速度求导有
得到加速度或角加速度，2分
得到加速度或角加速度，2分
得到压力与角度的正确表达式，3分把（1
得到压力与角度的正确表达式，3分
（