2024_2025学年新教材高中数学课后落实28指数函数幂函数对数函数增长的比较含解析北师大版必修第一册.doc

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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列函数中y随x的增大而增大，且增长速度最快的是()

A．y＝2020lnx B．y＝eq\f(1,2020)ex

C．y＝2020x D．y＝2020·2x

B[由于指数型函数的增长是爆炸式增长，所以当x越来越大时，函数y＝eq\f(1,2020)ex与y＝2020·2x的增长越来越快，由于e2，当x超过某一个值时，函数y＝eq\f(1,2020)ex的值会超过y＝2020·2x的值，故选B.]

2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()

ABCD

D[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.]

3．有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑过的路程分别满意关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5个小时以后跑在最前面的为()

A．甲 B．乙

C．丙 D．丁

D[法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后丁车在最前面．

法二：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面，故选D.]

4．某学校开展探讨性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：

x

1.99

3

4

5.1

6.12

y

1.5

4.04

7.5

12

18.01

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()

A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x

C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)

D[法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是渐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.

法二：比较四个函数值的大小，可以采纳特别值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.]

5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2x4时，有()

A．y1y2y3 B．y2y1y3

C．y1y3y2 D．y2y3y1

B[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2y1y3.]

二、填空题

6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．

甲[把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发觉模型甲较好．]

7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是_______．

y＝x2[当x变大时，x比lnx增长要快，

∴x2要比xlnx增长的要快．]

8.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：

①前三年中产量增长的速度越来越快；

②前三年中产量增长的速度越来越慢；

③第三年后这种产品停止生产；

④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．

②③[由t∈[0,3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0＜a＜1)，反映了C随时间的改变而渐渐增长但速度越来越慢，由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有改变，即第三年后停止生产．]

三、解答题

9．画出函数f(x)＝eq\r(x)与函数g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．

[解]函数f(x)与g(x)的图象如图所示．

依据图象易得：

当0≤x4时，f(x)g(x)；

当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x4时，f(x)g(x)．

10．某公司为了实现1000万元的利润目标，打算制订一个激励销售人员的嘉奖方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个嘉奖模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

[解]作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002