2024_2025学年新教材高中数学课后素养落实六第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理含解析新人教A版必修第二册.doc

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课后素养落实(六)平面对量基本定理

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面对量的基底的是()

A．e1－e2，e2－e1 B．e1－e2，e1＋e2

C．2e2－e1，－2e2＋e1 D．2e1＋e2,4e1＋2e2

B[不共线的向量能作为基底，因为e1－e2＝－(e2－e1)，所以向量e1－e2，e2－e1共线，解除A；因为2e2－e1＝－(－2e2＋e1)，所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，解除C；因为2e1＋e2＝eq\f(1,2)(4e1＋2e2)，所以2e1＋e2,4e1＋2e2共线，解除D．故选B．]

2．(多选题)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()

A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的全部向量

B．对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有多数多对

C．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)

D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0

BC[由平面对量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确．对于C，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有多数个，故C说法不正确．]

3．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为()

A．0,0B．1,1C．3,0D．3,4

D[因为e1与e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，))解方程组得x＝3，y＝4．]

4．在△ABC中，点D在BC边上，且eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up7(→))可用基底a，b表示为()

A．eq\f(1,2)(a＋b) B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b

C．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\f(1,3)(a＋b)

C[因为eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，

所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b．]

5．在△ABC中，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，EF∥BC，EF交AC于F，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(BF,\s\up7(→))等于()

A．－a＋eq\f(1,5)b B．a－eq\f(1,5)b

C．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b D．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b

A[∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(BE,\s\up7(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up7(→))．

又∵EF∥BC，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))，

∴eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝－eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))

＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up7(