2024年新教材高中数学第六章平面向量及其应用4.3第4课时余弦定理正弦定理应用举例__高度角度问题练习含解析新人教A版必修第二册.doc

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余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题

【基础全面练】(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为()

(精确到0.1km，参考数据：eq\r(3)≈1.732)

A．11.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km

【解析】选B.因为AB＝1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50,3)km，

C＝75°－30°＝45°，

所以BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50,3\r(2)).

所以航线离山顶

h＝BC·sin75°＝eq\f(50,3\r(2))×sin75°＝eq\f(50,3\r(2))×sin(45°＋30°)≈11.4.所以山高为18－11.4＝6.6(km).

【加固训练】

如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()

A．240(eq\r(3)－1)mB．180(eq\r(2)－1)m

C．120(eq\r(3)－1)mD．30(eq\r(3)＋1)mＫ

【解析】选C.如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，

AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m).

在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，

所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m).

所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))

＝120(eq\r(3)－1)(m).

2．一艘轮船从A动身，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B动身，沿北偏东35°的方向航行了40eq\r(2)海里到达海岛C.假如下次航行干脆从A动身到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为()

A．北偏东80°，20(eq\r(6)＋eq\r(2))

B．北偏东65°，20(eq\r(3)＋eq\r(2))

C．北偏东65°，20(eq\r(6)＋eq\r(2))

D．北偏东80°，20(eq\r(3)＋eq\r(2))

【解析】选C.由题可知∠ABC＝105°，在△ABC中，AB＝40海里，BC＝40eq\r(2)

所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝402＋(40eq\r(2))2－2×40×40eq\r(2)cos(60°＋45°)

＝3200＋1600eq\r(3)，

所以AC＝20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里．

eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，

所以sin∠BAC＝eq\f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠BAC＝45°，所以下次航行干脆从A动身到C，航向为北偏东65°，路程为20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里．

3．如图所示，某工程中要将一个长为100m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()

A.100eq\r(2)m B．100eq\r(3)m

C．50(eq\r(2)＋eq\r(6))m D．200m

【解析】选A.如图所示．

∠BAC＝45°，

在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(100,sin30°)，

所以BC＝eq\f(100,sin30°)·sin45°＝100eq\r(2).

4．(2024·杭州高一检测)小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15eq\r(3)－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为()

A.20m B．30m

C．20eq\r(3)m D．30eq\r(3)m

【解析】选D.由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°

所以∠ACM＝30