参数区间估计jiang.ppt

2、两个正态总体参数的区间估计 解 用 X 表示第一台机床加工的零件尺寸,用 Y表示第二台机床加工的零件尺寸,由 题设 三、小结 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 . 一、 置信区间定义： 满足 设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 则称区间 是 的置信水平（置信度、置信概率）为 的置信区间. 分别称为置信下限和置信上限. 一旦有了样本，就把 估计在区间 内. 这里有两个要求: 可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量) (X1,…Xn) (X1,…Xn) 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度. ~N(0, 1) 选 的点估计为 求参数 的置信度为 的置信区间. 例1 设X1,…Xn是取自 的样本， 二、置信区间的求法 明确问题,是求什么参数的置信区间? 置信水平是多少？ 寻找未知参数的 一个良好估计. 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率. 对给定的置信水平 查正态分布表得 对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平. 使 为什么 这样取？ 对给定的置信水平 查正态分布表得 使 从中解得 也可简记为 于是所求 的 置信区间为 从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下: 1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少? 2. 寻找参数 的一个良好的点估计T (X1,X2,…Xn) 称S(T, )为枢轴量. 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知. 4. 对于给定的置信水平 ，根据S(T, )的分布，确定常数a, b，使得 P(a ≤S(T, )≤b)= 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: 则 就是 的100( )％的置信区间. 可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知参数 (这样我们才能确定一个大概率区间). 而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要. 这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计. 例2 已知某地区新生婴儿的体重X~ 随机抽查100个婴儿 … 得100个体重数据 X1,X2,…,X100 的区间估计 求 和 （置信水平为1- ）. 解：这是单总体均值和方差的估计 已知 先求均值 的区间估计. 因方差未知，取 对给定的置信度 ,确定分位数 使 即 均值 的置信水平为 的区间估计. 即为 从中解得 取枢轴量 从中解得 再求方差 的置信水平为 的区间估计. 对给定的置信度 ,确定分位数 使 于是 即为所求. 讨论两个总体均值差和方差比的估计问题. 两总体相互独立 的修正样本方差 分别是第一、二个总体 总体的样本均值 分别是第一、二个 的样本 个总体 为第二 的样本 第一个总体 为 并设 给定置信度为 . , , , , ) , ( , , , , ) , ( , , , , 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 S S Y X N Y Y Y N X X X n n s m s m a - L L 推导过程如下: I. 例6机床厂某日从两台机床加工的