矩阵论—jordan标准形.ppt

Jordan链条{ ?，y2，…，y nj } 完整步骤： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 解 把 A(?) 的初等因子 按降幂排成如下两行，每行 3 个因子(因 A(?) 的秩 令 等于 3 ) : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 d1(?) , d2(?) , d3(?) 是 A(?) 的不变因子. 所以 A(?) 的标准形为 例6 求下列矩阵的不变因子，行列式因子与 初等因子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 解 把 ?E - A 化为标准形 初等变换 所以不变因子为 行列式因子为 初等因子为 (2) 解 把 ?E - B 化为标准形 初等变换 所以不变因子为 行列式因子为 初等因子为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、Jordan标准形 Jordan标准形的存在定理 任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形： 其中 称为Jordan块矩阵。 为A的特征值，可以是多重的。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：（1） 2阶以上Jordan块矩阵一定不能对角化； 中的特征值全为 ，但是对于不同的i 和j 有可能 ，即多重特征值可能对应多个Jordan块矩阵。 （4）Jordan标准形是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan块矩阵的位置可以变化。 （3）对于特征值 的阶数整除它的代数重数。 （5）Jordan标准形中各Jordan块矩阵的阶数均为1时，即为对角形矩阵。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：Jordan 子块的集合惟一。 A相似于B?JA相似于JB 元素的结构 Jordan矩阵是上三角矩阵 对角矩阵是Jordan 矩阵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. Jordan标准形的求法 方法一 特征向量法 P 9-10 注： 1.属于某一个特征值的若当块个数由它的几何维数确定。 2.该方法只适用于阶数较低的矩阵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7 求下列矩阵的Jordan标准形。 1的几何维数是1，故它对应一个若当块。 2的几何维数是2，故它对应两个若当块。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法二 初等因子法 （1）求出特征多项式 的初等因子组，设为 （2）写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵） （3）合成Jordan矩阵： 例8 求下列矩阵的Jordan标准形。 由例6 A初等因子为： B初等因子为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法三 行列式因子法 （1）求λE-A 的各阶行列式因子 （2）求λE-A 的各阶不变因子 （3）求λE-A 的初等因子，确定Jordan标准形。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9 求下列矩阵的Jordan标准形。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1-4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1、2、3、5行与1、3、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这两个子式的公因式为1，故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1-5行与第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1、2、3、5、6行与第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其它五阶子式均含 因式，故 特征值行列式为 ，从而有 初等因子组为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 相应的Jordan块为 Jordan标准形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、Jordan标准形的变换与应用 1. Jordon标准形变换矩阵的求法 目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA 分析方法：在定理 的基础上逆向分析矩阵JA 和P的构成。 求法与步骤： 矩阵A和JA的特征值相等 性质 定理3 等价的 ? - 矩阵具有相同的秩与相同的各级 行列式因子. 证明 我们只要证明，? - 矩阵经过一次初等 行变换，秩与行列式因子是不变的. 设 ? - 矩阵 A(?) 经过一次初等行变换变成 B(?) , f(?)