第2讲2矩阵Jordan标准型.ppt

? 四. Jordan标准形 ?0 ?0 ?0 … 1 1 ?0 … m?m … m阶Jordan块: 例如: (?0 ) ?0 1 0 ?0 ?0 1 0 0 ?0 1 0 0 ?0 注: ?0 1 0 ?0 0 1 1 0 0 1 1 0 ?1 ?0 0 1 ?0 = 一阶 Jordan块是一阶矩阵 J1 J2 Js … Jordan形矩阵: 若当块 例如: 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 3 1 1 0 0 2 0 0 0 3 但 不是Jordan形矩阵. Jordan标准型 定理5：设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得 其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值， 而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。 且 ? 若A与Jordan形矩阵J相似, 则称J为A的 Jordan当标准形. 注: J1 O O J2 O E E O O E E O ?1 J2 O O J1 = 推论. 两个复方阵相似?它们具有相同的 Jordan标准形. 推论. 两个复方阵相似，特征值、秩？ Jordan矩阵的结构与几个结论: Jordan块的个数 k是线性无关特征向量的个数; 矩阵可对角化,当且仅当s=n; (3)相应于一个已知特征值 的Jordan块的个数是该 特征值的几何重数 ,它是相应的特征子空间的维数, 相应于一个 的所有Jordan块的阶数之和 是该特征值的代数重数 .特征值 的几何重 数 代数重数 (4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关. J的对角元素给出了特征值的信息。 推论： 则下列命题等价： (3) A 的Jordan标准形中的 Jordan块都是一阶的。 推论： 阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。 有 个线性无关的特征向量。 综合： ?1, ?2, …, ?s A ?11, …, ?1q , 1 线性无关 ? ?11, …, ?1q , ?21, …,?2q , …, ?s1, …,?sq 线性无关 1 2 s 2 线性无关 ?21, …, ?2q , …, s 线性无关 ?s1, …,?sq 相似矩阵P的求法 定理5： l1,…,ls是n阶复矩阵A的互不相同的特征值， 且 (1) 则必存在可逆矩阵S，使得 则下面是等价的 则V 上必然存在一个线性变换T，使得 亦即 中必然存在一组基( 个)， 使得T在这组基下的矩阵为 ?1, ?2, …, ?s A ?11, …, ?1q , 1 线性无关 ? ?11, …, ?1q , ?21, …,?2q , …, ?s1, …,?sq 线性无关 1 2 s 2 线性无关 ?21, …, ?2q , …, s 线性无关 ?s1, …,?sq 相似矩阵S的求法 五.Jordan标准型与最小多项式的关系 设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得 其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值， 且 则A的最小多项式为： 问哦 问题： 如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，能否找一最简单的矩阵与之相似？如何找。 等价的问题： 若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。 第二章 矩阵的Jordan标准型 §2.1矩阵的Jordan标准型 一. Cayley-Hamilton定理 ? 第二章 矩阵的Jordan标准型 凯莱[英] A. Cayley (1821.8-1895.1) 哈密尔顿[英] W.R. Hamilton (1805.8-1865.9) 约当[法] M.E.C. Jordan (1838.1-1922.1) 矩阵的多项式表示 定义： 已知 和关于变量 的多项式 那么我们称 为 的矩阵多项式。 化零多项式 ? 定理2.1. c(?) = |?E–An?n| ? 则c(A) = O. 注: c