Jordan标准型及其应用.doc

PAGE PAGE 1 毕 业 论 文 论文题目 Jordan标准型及其应用 学 院 专 业 数学 年 级 06级 姓 名 指导教师 职 称 教授 （2010 年 6月） 目录 摘要………………………………………………………………………………………1 引言………………………………………………………………………………………2 1、若尔当（Jordan）标准型概念 ……………………………………………………3 2、若尔当（Jordan）标准型的应用 2.1 Jordan标准形在“求解线性微分方程组”中应用 ………………………4 2.2 Jordan标准形在“计算矩阵多项式”中应用 ……………………………5 3.小结……………………………………………………………………………………7 4.参考文献………………………………………………………………………………8 5.致谢……………………………………………………………………………………8 Jordan标准型及其应用 摘　要: 回顾高等代数学过的Jodan标准形定义，在学习解线性微分方程组、计算矩阵多项式的基础上引进用Jordan标准型的这一工具进行求解，从而感受Jordan标准型在代数学中的广泛应用价值. Summary:Jodan normal form definitions, with the Jordan canonical form linear differential equations, calculation of matrix polynomials. 关键词: jordan标准形；微分方程；矩阵多项式；应用. Keyword: Jordan canonical form; equation; matrix polynomial; application. 引言 在高等代数、线性代数各种教材中都有Jordan标准形，我们想想学习了它在解决线性代数问题中能否给我们带来什么作用？答案是能!本文先阐述Jordan标准型定义，再具体通过具体实例来说明Jordan标准形的广泛应用。 1 若尔当（Jordan）标准型概念 定义 形如为 J（，t）= t×t 的矩阵称为若尔当（Jordan）块，其中是复数，由若尔当块组成的准对角矩阵为若尔当形矩阵，其一般形式如 其中Ai= ki×ki 并且1 ，2， …，i中有一些可以相当。例如 ， ， 都是若尔当块，而 是一个若尔当形矩阵。 一级若尔当块是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵。 2.若尔当（Jordan）标准型的应用 2.1 Jordan标准形在“求解线性微分方程组”中应用。 例[1] 解线性微分方程组 解:令X(t)=, A= 则微分方程组的矩阵形式为=A. 因A的若尔当标准形可求得为:J=, 且变换矩阵P为:P=,则 P-1AP=J. 作线性变换X(t)=PY(t)，其中 Y(t)=（η１（t），η2（t），η3（t））T，则有 =P-1= P-1 A= P-1AP Y(t)=J Y(t) 即== 或者=， =， =- 其一般解为=k1+k2t, =k2, =k3e-1 再由X(t)= P Y(t) ，??求得原微分方程组得一般解为 其中k1,k2,k3是任意常数。 2.2Jordan标准形在“计算矩阵多项式”中应用。 计算矩阵多项式 已知 A∈Cn×n和变量的多项式 f()=am+am-1 m-1+…+a1 +a0 则称 f(A)=am A +am-1 A m-1++a1 A +a0E 为矩阵A的多项式。 定理1 若A为ni阶若尔当块矩阵，即 A=Ji()=ni×ni 则f(Ji)= ………（1） 证：用数学归纳法可以证明 (λi)= 其中=（l≤k）, 而当lk时，认为=0. 于是 对Ji(λi) 的矩阵多项式 f(Ji)=am + am-1 …+ a1 +a0E 把 ,, …, 代入上式，经过运算即得（1）式。 由定理1容易得出如下结论： 推论 若A为n阶矩阵，是它的若尔当标准型，则 A=PJP-1=Pdiag(J1,J2, …,Js)P-1 ; f(A)= Pdiag(f(J1),f(J2), …,f(Js))P-1. 例2 已知多项式 f(λ)= 4-23+-1与矩阵A，计算f(A) .其中， A= 解： 易求A的若尔当标准型是 J=