第2章Jordan标准型λ–矩阵.ppt

第2章：Jordan标准形介绍;第2章：Jordan标准形介绍;2.1 线性变换的对角表示; (2.1);把它代入(2.1)， 得;特征向量 的坐标 x 满足齐次线性方程组;定义2.2 设A是数域 F上的 n 阶矩阵， 是一个 文字，矩阵 称为A 的特征矩阵，其行列式 称为A 的特征多项式。方程 称为 A的特征方程，它的根称为A的特征根（或特征 值）。以A的特征值 代入齐次线性方程组(2.4) 所得的非零解 x 称为A对应于 的特征向量。;例题1(p37 ，例题2.1) 3、 特征向量的空间性质 特征子空间： 特征子空间的性质：(p36 ，定理2.2) V?i是不变子空间 ?i ? ?j，则V?i?V?i={0} 若?i是ki重特征值，则1?dimV?i?ki 推论： 若?i是单特征值，则dimV?i =1 V?1+V?2+?+V?s= V?1?V?2???V?s V?1?V?2???V?s ?Vn（F）; 设 是线性变换T 的任一特征值，记;定理2.1 设 F ，则;例1. 设;解: 记;定理2.3 如果 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则; 则 为 的特征值. ;二、线性变换矩阵对角化的充要条件;例题2 已知{?1，?2 ，?3 }是空间V3（F）的基，T是空间上如下定义的线性变换， T（ ?1 ）= ?1 T（ ?2 ）=2 ?2 T（ ?3 ）= ?1 +t ?2+2 ?3 ;2.2 Jordan 矩阵介绍;形式： Jordan矩阵举例 特点;二、方阵A的Jordan 标准形的求法;Jordan链条{?，y2，…，ynj};方法步骤：;例题3 将矩阵A化为Jordan 矩阵。;三、 λ-矩阵及其在相抵下的标准形;3.1 λ-矩阵的基本概念; 设 F ，若 则称A(λ)与B(λ)相等，记为A(λ)=B(λ) 。;λ-矩阵的运算：;定义3.2 设 F ，如果A(λ)中有一个 r 阶子式不为零，而所有r + 1阶子式 (如果有的话）全为零，则称A(λ)的秩为 r，记为 rank (A(λ)) = r 。;3.2 λ-矩阵的初等变换与相抵;;;;初等矩阵都是可逆的，并且; 初等变换的表示;定理3.2 设 F ，则A(λ)与B(λ)等 价的充分必要条件是存在 m 阶初等矩阵 与 n 阶初等矩阵 使得;定理3.3 设 F ，且 ， 则 等价于如下“对角形”矩阵; 定理3.3中的“对角形”矩阵 称为λ -矩阵 在等价下的标准形或Smith标 准形。 ;例1. 求下列λ矩阵的相抵标准形及不变因子;一般的,有:;4.3 λ—矩阵的行列式因子和初等因子;定理4.1 相抵的λ-矩阵具有相同的秩和相同的各 阶行列式因子。;设λ-矩阵 的Smith标准形为;于是有;定理4.2 λ-矩阵 的 Smith标 准形是唯一的。 ;定理4.3 设 F ，则 与 等 价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或 者它们有相同的不变因子。;定理4.4 设 F ，则 可逆的充分必要 条件是 可表示为一系列初等矩阵的乘积。;定理4.5 设 F ，则 与 等价 的充分必要条件是存在两个可逆λ-矩阵 F 与 F 使得 .; 下面再引进λ-矩阵的初等